Как развить математические способности у школьника

К сожалению, современное общество всё чаще начинает считать математику исключительно профильным предметом, который в дальнейшем ребёнку не пригодится, если он не решит связать свою жизнь с ней. Однако математика – это не только предмет в школе. Это образ мышления, зарядка для мозга. Она развивает логику ребёнка, дедукцию, причинно-следственные связи. Информация усваивается поэтапно, структурировано. Развитие математических способностей школьников помогает им продумывать в уме дальнейшие действия, рассчитывать свои силы, думать на несколько шагов вперёд. Также она развивает левое полушарие мозга, а чем сильнее оно развивается, тем лучше проявляются склонности к чтению, письму, запоминанию фактов, имён, дат. Получается, чем больше развивается у ребёнка левое полушарие, тем ему проще учиться, информация запоминается быстрее, и грамотно структурируется в голове ребёнка. Это помогает ему находить доводы, отстаивать свою точку зрения, заранее продумывать свои действия.

Если ваш ребенок любит рисовать, петь, с удовольствием занимается танцами или спортом, обожает животных и любит читать, а с математическими науками у него не складывается, то эта статья для вас, уважаемые родители. Зачем заниматься развитием математических способностей у младших дошкольников, если к математике «душа не лежит»?

Ответ достаточно прост. Если рассматривать математику не как самоцель, а как инструмент развития умственных способностей ребёнка, то можно увидеть массу преимуществ в том, что школьник будет изучать математические дисциплины.

Что даёт развитие математических способностей у младших школьников?

1. Во-первых, математика развивает аналитическое и дедуктивное мышление, а также учит прогнозированию.
2. Во-вторых, развивает память, логическое мышление, умение рассуждать и делать выводы.
3. В-третьих, математика тренирует интеллект, так как математические знания учат ребёнка удерживать в голове сложные абстрактные понятия, между которыми нужно выстроить определённую связь и найти правильный результат или сделать верный вывод.

Именно поэтому не стоит игнорировать математическое развитие младших дошкольников и школьников, потому что оно является базисом для полноценного интеллектуального развития ребёнка, причём не только в области точных наук, но и гуманитарных.

Способы развития математических способностей младших школьников

Какой бы ни был начальный уровень способностей ребёнка, их можно развивать. В первую очередь, поможет умение считать без калькулятора, в уме. Примеров использования предостаточно в обычной жизни, нужно лишь пользоваться удобным моментом для развития. Но если их недостаточно, то помогут различные ребусы, загадки, настольные игры.

Например, игра в шахматы. Шахматы способствуют развитию логического мышления, ребёнок начинает просчитывать не только свои варианты ходов, но и возможные ответы со стороны соперника на несколько операций вперёд. А головоломки и пазлы помогут не только с мелкой моторикой, но и с логикой пространственного мышления.

Несколько советов родителям для того, чтобы помочь развить математические способности младших школьников:

Проявите сами неподдельный интерес к школьной математике и развивающим играм. Важно, чтобы ребёнок подсознательно ощущал вашу поддержку, понимал, что то, чем он занимается, – важно и интересно.

Организуйте пространство вокруг школьника: повесьте в комнате различные плакаты, считалки, поставьте наглядные предметы для обучения. Например, головоломки или доску, на которой значительно интересней решать примеры.

Для того, чтобы ребёнку было проще запоминать и использовать всю информацию, можно применять одновременно несколько методов, а именно проговаривать условия задачи, зарисовывать и визуализировать их.

Обучение и тренировка – это непрерывный процесс. Если вы хотите добиться хороших результатов, то следует заниматься не только больше, но и регулярней.

Работа мозга сложна и требует постоянной подпитки. Важно чередовать умственную деятельность и физическую, чтобы в мозг поступало необходимое количество крови и кислорода. Ребёнку необходимо каждый день получать нужную долю белков, витаминов, кальция.

Ментальная арифметика – помощь в математическом развитии

Данный подход может существенно упростить решение и увеличить понимание задач, в которых необходимо применить арифметические знания, их наглядность для школьника, при этом делая это в интересной и занимательной форме. Мозг наиболее пластичен как раз в раннем возрасте, а используя методы ментальной арифметики, развиваются сразу оба полушария мозга. Помимо того, ребёнок учится выполнять сразу несколько действий одновременно.

В центры ментальной арифметики AMAKids приходят дети разных возрастов и с разными проблемами: у одних сложности с концентрацией внимания, другие плохо запоминают стихотворения, у кого-то полностью отсутствует интерес к учёбе, а кто-то просто не может быстро считать. Из-за всего этого у детей падает самооценка, уверенность в себе и полностью теряется мотивация к обучению в школе.

Наши занятия начинаются с изучения абакуса и с самых простых действий на нем — сложение/вычитание однозначных чисел. Кажется просто? Не всегда. Особенно учитывая, что у многих детей страдает мелкая моторика. Дети обучаются правильному физическому движению косточек на спицах, а также запоминают расположение костяшек на них. Одновременно дети учатся считать на воображаемом абакусе, представляя движение косточек ментально.

Благодаря онлайн-платформе скорость обучения возрастает в разы, программа усложняется с каждым занятием, дети учат счёт с переходом через перегородку, затем двузначные, трехзначные и так далее.

При регулярности посещения групповых занятий и ежедневной домашней тренировке в течение 15–30 минут AMAKids гарантирует следующие результаты. В 98% случаев дети начинают считать однозначные числа на воображаемом абакусе уже к концу первого месяца обучения (при этом скорость появления цифр на экране онлайн-платформы может составлять 0,5–0,1 секунды). Родители отмечают улучшение памяти и концентрации внимания у детей.

Если вы хотите узнать, как научиться ментальной арифметике, приходите к нам в AMAKids на пробное занятие. Мы познакомим вас ближе с самой методикой, расскажем и покажем на видео, каких результатов может достичь ваш ребёнок уже за 1 месяц занятий. Подробно объясним, как проходят тренировки в группе, и что должен делать ученик дома, чтобы улучшить свои оценки в школе.

10 советов, как улучшить математические способности

Калькуляторы могут быть удивительно полезными, но они не всегда под рукой. К тому же не всем удобно доставать калькуляторы или телефоны, чтобы подсчитать, сколько нужно заплатить в ресторане, или вычислить размер чаевых. Вот десять подсказок, которые могут помочь вам произвести все эти подсчеты в уме. На самом деле это совсем не сложно, особенно если запомнить несколько простых правил.

Прибавляйте и вычитайте слева направо

Помните, как в школе нас учили прибавлять и вычитать в столбик справа налево? Это сложение и вычитание удобно, когда под рукой карандаш и листок бумаги, но в уме эти математические действия легче выполнить, считая слева направо. В числе слева расположена цифра, определяющая большие ценности, например сотни и десятки, а справа меньшие, то есть единицы. Слева направо считать интуитивнее. Таким образом, прибавляя 58 и 26, начните с первых цифр, сначала 50 + 20 = 70, потом 8 + 6 = 14, затем сложите оба результата — и получите 84. Легко и просто.

Облегчите себе задачу

Если вы столкнулись со сложным примером или задачей, попытайтесь найти способ упростить ее, например, добавить или отнять определенное число, чтобы сделать общее вычисление проще. Если, например, вам нужно посчитать, сколько будет 593 + 680, сначала прибавьте 7 к 593, чтобы получить более удобное число 600. Вычислите, сколько будет 600 + 680, а затем от полученного результата 1280 отнимите те же 7, чтобы получить правильный ответ – 1273.

Подобным образом можно поступать и с умножением. Чтобы умножить 89 x 6, вычислите, сколько будет 90 x 6, а затем отнимите оставшиеся 1 х 6. Таким образом, 540 — 6 = 534.

Запомните стандартные блоки

Запоминание таблиц умножения является важной и нужной частью математики, которая отлично помогает решать примеры в уме.

Запоминая основные «стандартные блоки» математики, такие как таблица умножения, квадратные корни, процентные соотношения десятичных и обыкновенных дробей, мы можем немедленно получить ответы на простые задачи, спрятанные в более трудных.

Помните полезные уловки

Чтобы быстрее справиться с умножением, важно помнить несколько простых уловок. Одно из самых очевидных правил – умножение на 10, то есть просто добавление ноля к умножаемому числу или перенос запятой на один десятичный показатель. При умножении на 5, ответ будет всегда заканчиваться цифрой 0 или 5.

Кроме того, умножая число на 12, сначала умножьте его на 10, а потом на 2, затем прибавьте результаты. Например, вычисляя 12 x 4, сначала умножьте 4 x 10 = 40, а затем 4 x 2 = 8, и прибавьте 40 + 8 = 48. Умножая на 15, просто умножьте число на 10, и затем прибавьте еще половину полученного, например, 4 x 15 = 4 x 10 = 40, плюс еще половина (20), получается 60.

Есть также хитрая уловка для умножения на 16. Во-первых, умножьте рассматриваемое число на 10, а затем умножьте половину числа на 10. После прибавьте оба результата к числу, чтобы получить окончательный ответ. Таким образом, чтобы вычислить 16 x 24, сначала вычислите 10 x 24 = 240, затем половину 24, то есть 12, умножьте на 10 и получите 120. И последний шаг: 240 + 120 + 24 = 384.

Квадраты и их корни очень полезны

Почти как таблица умножения. И помочь они могут с умножением более крупных чисел. Квадрат получается при умножении числа на само себя. Вот как работает умножение с использованием квадратов.

Давайте предположим на мгновение, что мы не знаем ответ на 10 x 4. Сначала выясняем среднее число между этими двумя числами, оно равно 7 (т. е. 10 — 3 = 7, и 4 + 3=7, при этом различие между средним числом равно 3 – это важно).

Затем определяем квадрат 7, который равен 49. У нас теперь есть число, близкое к финальному ответу, но оно не достаточно близко. Чтобы получить правильный ответ, возвращаемся к различию между средним числом (в этом случае 3), его квадрат дает нам 9. Последний шаг включает в себя простое вычитание, 49 — 9 = 40, теперь у вас есть правильный ответ.

Это похоже на окольный и чересчур сложный способ вычислить, сколько же будет 10 x 4, но та же самая техника прекрасно работает и для больших чисел. Возьмем, например, 15 x 11. Сначала мы должны найти среднее число между этими двумя (15 — 2 = 13, 11 + 2 = 13). Квадрат 13 равен 169. Квадрат различия среднего числа 2 равен 4. Получаем 169 — 4 = 165, вот и правильный ответ.

Иногда достаточно и приблизительного ответа

Если вы пытаетесь решить сложные задачи в уме, неудивительно, что на это уходит немало времени и усилий. Если вам не нужен абсолютно точный ответ, возможно, достаточно будет подсчитать приблизительное число.

То же самое касается и задач, в условиях которых вам не известны все точные данные. Например, во время Манхэттенского проекта физик Энрико Ферми хотел примерно подсчитать силу атомного взрыва, прежде чем ученые получат точные данные. С этой целью он набросал бумажных обрывков на пол и следил за ними с безопасного расстояния, в тот момент, когда до бумажек дошла взрывная волна. Измерив расстояние, на которое сдвинулись обрывки, он предположил, что сила взрыва составила приблизительно 10 килотонн в тротиловом эквиваленте. Эта оценка оказалась довольно точна для предположения навскидку.

К счастью, нам не приходится регулярно оценивать приблизительную силу атомных взрывов, однако приблизительные подсчеты не повредят, если, например, вам нужно предположить, сколько в городе настройщиков фортепиано. Для этого проще всего оперировать числами, которые просто делить и умножать. Таким образом, сначала вы оцениваете население своего города (например, сто тысяч человек), затем оцениваете предположительное число фортепьяно (скажем, десять тысяч), ну и затем количество настройщиков фортепьяно (например, 100). Вы не получите точный ответ, но сумеете быстро предположить приблизительное количество.

Перестраивайте примеры

Основные правила математики помогают перестроить сложные примеры в более простые. Например, вычисление в уме примера 5 x (14 + 43) кажется грандиозной и даже непосильной задачей, но пример можно «разломить» на три довольно несложных вычисления. Например, эта непосильная задача может быть перестроена следующим образом: (5 x 14) + (5 x 40) + (5 x 3) = 285. Не так уж и сложно, правда?

Упрощайте задачи

Если задача кажется сложной, упростите ее. Всегда проще справиться с несколькими простыми заданиями, чем с одним сложным. Решение многих сложных примеров в уме заключается в умении правильно разделить их на более простые примеры, решение которых не составляет труда.

Например, умножать на 8 проще всего, удваивая число три раза. Таким образом, вместо того, чтобы пытаться решить, сколько будет 12 x 8 традиционным способом, просто удвойте 12 три раза: 12 х 2 = 24, 24 х 2 = 48, 48 х 2 = 96.

Или умножая на 5, сначала умножайте на 10, так как это легко, затем разделите результат на 2, так как это также довольно легко. Например, для решения 5 x 18, вычислите 10 x 18 и разделите на 2, где 180 : 2 = 90.

Пользуйтесь возведением в степень

Вычисляя большие суммы в уме, помните, что вы можете преобразовать их в более мелкие числа, умноженные на 10 в нужной степени. Например, сколько получится, если 44 миллиарда разделить на 400 тысяч? Простой способ решить эту задачу состоит в том, чтобы преобразовать 44 миллиарда в следующее число – 44 х 10⁹, а из 400 тысяч сделать 4 х 10⁵. Теперь мы можем преобразовать задачу следующим образом: 44 : 4 и 10⁹ :^{105. Согласно математическим правилам, все это выглядит так: 44 : 4 х 10(9-5), таким образом, мы получаем 11 x 104 = 110,000.}

Самый простой способ вычислить необходимые чаевые

Математика необходима даже во время ужина в ресторане, точнее после него. В зависимости от заведения, размер чаевых может составлять от 10% до 20% от стоимости счета. Например, в США принято оставлять на чай официантам 15%. И там, как и во многих европейских странах, чаевые обязательны.

Если вычислить 10% от общей суммы сравнительно легко (просто разделите сумму на 10), то с 15 и с 20% дело, кажется, обстоит сложнее. Но на самом деле, все так же просто и очень логично.

Вычисляя 10-процентные чаевые за ужин, который обошелся в 112,23 доллара, просто переместите десятичную точку влево на одну цифру, получится 11,22 $. Вычисляя 20-процентные чаевые, сделайте то же самое, и просто удвойте полученную сумму (20% просто в два раза больше 10%), в этом случае чаевые составят 22,44 $.

Для 15-процентных чаевых сначала определите 10% от суммы, а затем добавьте половину полученной суммы (дополнительные 5% — это половина 10-процентной суммы). Не волнуйтесь, если не можете получить точный ответ, до последнего цента. Если не заморачиваться слишком сильно с десятичными знаками, мы можем быстро вычислить, что 15-процентные чаевые от суммы 112,23 $ составляют 11 + 5,50 $, что дает нам 16,50 $. Достаточно точно. Если вы не хотите обидеть официанта, недосчитав нескольких центов, округлите сумму до целого числа и заплатите 17 долларов.

Нашли нарушение? Пожаловаться на содержание

Дар или навык? Что такое математические способности и как их развить

Успехи других людей – это всегда немного загадка. Почему у одних получается решать сложные математические задачи, а другие, как бы ни старались, не могут выйти на новый уровень? Неужели математика и правда подвластна не всем? На эти вопросы ответил Назар Агаханов, председатель Центральной предметно-методической комиссии по математике Всероссийской олимпиады школьников. С 1995 года руководил национальной командой России на международных математических олимпиадах. 

В 2010 году Назар Хангельдыевич стал лауреатом премии Правительства РФ в области образования за научно-практическую разработку «Система развития всероссийских предметных олимпиад школьников, отбора и подготовки национальных сборных команд России на международные олимпиады по физике и математике». Когда проявляются математические способности, как их развивать и кому не стоит идти в олимпиадное движение – рассказал эксперт.

Фото: https://mipt.ru/

Математические способности – это умение построить новые модели, не повторяющие стандартные алгоритмы, которым научили в школе. На базе таких маленьких открытий и строятся наука и технологии. Именно поэтому математика позволяет находить способных детей. 

Некоторые ученые считают, что порядка 10% людей обладают высокими математическими способностями. И это нормально. Если нет математических способностей, значит, есть что-то другое. Важно помогать детям открывать интересные сферы, но не навязывать. 

«Каждый родитель хочет, чтобы его ребенок вырос успешным человеком, и сейчас очень популярна позиция, что развивать нужно с пеленок. Может быть, так и есть, но в  любом случае лучше отталкиваться от искреннего интереса ребенка. Талант погибнет, если заставлять его делать несвойственное. Часто родители хотят использовать любые возможности, в частности, например, отправляют заниматься ментальной арифметикой, ложно полагая, что это шаг в математику, но это бессмысленная трата времени, ведь математика – это творчество. Не зря же задачи и решения называют красивыми», – говорит Назар Агаханов.

Чаще всего склонность к математике начинает проявляться в начальной школе, но это не значит, что сразу нужно вести ребенка на несколько кружков и интенсивно развивать эти способности. Достаточно одного урока занимательной математики в неделю. 

Более серьезные кружки начинают работу с учениками 5-6 классов. На этом этапе изучения математики обогнать сверстников очень легко. Круг задач еще достаточно узок и владение приемами их решения позволяет обойти даже, возможно, потенциально более сильных сверстников именно за счет знаний, а вот дальше, в 7-8 классах, для высоких результатов нужно чувствовать математику, здесь и проявляются математические способности. В это время преподаватели работают со школьником на развитие математического аппарата, укрепляется который уже в старших классах. 

Поэтому нередко бывает, что ярко проявляющие себя в 5-7 классах школьники начинают терять свои позиции в старших классах и выгорают от непонимания, почему теперь не получается быть сильнее других. Хотя выгорание возможно и по другой причине –  слишком долгие занятия олимпиадными задачами. Интерес все-таки нужно поддерживать, переключаясь на другую деятельность. 

  

Характер и воля: что помогает добиваться успехов в олимпиадах

Трудолюбие и готовность много работать – наверное, самые очевидные качества, которые нужны в любой сфере для достижения высоких результатов. 

«Способности – это фундамент. Чтобы подняться на несколько ступенек вверх, нужно работать. При наличии этих двух пунктов и еще хорошего педагога, все остальное уходит на второй план. Даже атмосфера в семье и материальное благополучие. В сборную часто попадают дети,  у которых не очень устроено семейное положение. Можно даже сделать частный вывод, что чем больше благоустроен быт, тем меньше ребенок настроен трудиться», – рассказывает Назар Агаханов.

Еще один важный пункт, над которым нужно работать каждому олимпиаднику, – психологическая устойчивость. На олимпиаде ребенок от волнения может показать результат хуже, чем его потенциал. Более ярко это проявляется в спорте, когда ребенок, приезжая на международные соревнования, проваливается. Нужно уметь воспринимать состязания не как конкурс, где тебе придется преодолевать невероятные сложности, а как  удовольствие от того, что ты встретишься с интересными задачами и попробуешь их решить. Самостоятельно психологическую устойчивость развивать сложно. Для этого важна среда. 

«Задумайтесь, почему в хороших математических школах так много детей, показывающих высокие результаты? Во-первых, конечно, в лучших школах собираются лучшие учителя. Во-вторых, в конкурентной борьбе с равными тебе сверстниками ты привыкаешь – нужно доказывать, что ты лучший. Несколько раз сначала ты можешь сорваться из-за волнения, а дальше уже будешь спокоен», – говорит Назар Агаханов.

Интересуйтесь всем: советы по эффективному олимпиадному тренингу

Если юный математик идет в олимпиадное движение только ради поступления в университет, лучше оставить эту затею. По словам эксперта, количество бюджетных мест по России определенно превосходит количество способных ребят, заканчивающих школы. Проблемы с тем, чтобы ребенок был талантлив в математике, а его не хотели брать на учебу в вуз, нет. Такие ребята с легкостью сдают экзамены. Повторимся, этот фактор абсолютно для математики не работает. 

Пожалуй, нужно искренне любить соревноваться, чтобы спокойнее переживать возможный стресс. А педагог поможет раскрыть способности и стать лучше. Заниматься с преподавателями можно и онлайн, и оффлайн. Но эксперт уверен, что онлайн-формы не заменят личного общения.

«Важен не объем пройденного материала, а то, как преподаватель послушал решение и рассуждения ребенка. Именно поэтому подготовка к международным олимпиадам во всех странах проходит примерно одинаково – учитель помогает разобрать ошибки, а не начитывает лекции. Школьник может увидеть решения тысяч задач и от этого не продвинуться, но, если он сам углубился в вопрос, попробовал решить, увидел трудные места, ему приоткроется новое знание. Дистанционные формы, к сожалению, в этом не столь эффективны, потому что важен живой диалог и прямая беседа. При этом место проживания – не крест для успехов. Хорошие преподаватели есть в регионах и это факт», – утверждает Назар Агаханов. 

Еще одна возможность прокачаться – различные турниры и летние школы, которые есть практически в каждом регионе. Можно подобрать для себя наиболее подходящие. Такие площадки собирают большое количество ребят из разных городов в одном месте, дают возможность и пообщаться, и вместе решать задачи, и познакомиться с  педагогами, которые входят в жюри.

Еще один важный пункт на пути к эффективным занятиям – вовремя отдыхать. Спорт, прогулки, активный отдых – хороший инструмент для качественной перезагрузки между занятиями. Но не единственный. 

«Большое количество открытий в математике происходит на стыке дисциплин, когда ты можешь переключиться, перенести свои способности на другое направление, в котором не являешься специалистом самого высокого уровня. Поэтому при стремлении добиться чего-то серьезного в математике, стоит интересоваться всеми предметами в школе и вообще разносторонне развиваться», – говорит Назар Агаханов. 

Отсюда возникает вопрос, если тратить время на другие интересы, то сколько тогда нужно заниматься именно математикой? Конкретного ответа здесь нет, все очень индивидуально. Формулу поможет выработать внутреннее ощущение – заниматься нужно ровно столько, чтобы чувствовать, что ты находишься в форме. А вот перед олимпиадными турами важно не перегружать мозг слишком интенсивными занятиями, чтобы не устать. 

  

Обрати внимание: самые распространенные ошибки начинающих олимпиадников

Многие начинающие олимпиадники делают ошибки из-за того, что не продумывают решение глубоко. Чаще всего это происходит из-за невнимательности и игнорирования части условий. Поэтому Назар Агаханов рекомендует, как банально бы это ни было, детально читать условия задач и использовать в решении все обозначенные параметры. 

В решении геометрических задач чаще всего встречаются логические ошибки, когда то, что надо доказать, каким-то образом встраивается в логику решения. Пример:  нужно доказать равенство углов. Школьник отталкивается от фразы «так как эти углы равны», решает задачу и попадает в логическую ловушку, делая некорректные выводы. 

Распространенная ошибка в алгебре и комбинаторике – длинное решение с перебором вместо короткого. Решение методом перебора – нормальный подход, но, если пропускается какой-то случай, решение может не засчитаться, потому что именно в этом случае и было верное решение.

Статья по теме: Как развивать математические способности (советы родителям)

Как развивать математические способности

(советы родителям)

    Прежде всего, необходимо подчеркнуть, что развивать математические способности детей следует не только в том случае, когда эти способности уже заметно выражены или когда ребенка готовят к поступлению в математический вуз. Знание математики нужно для очень многих профессий, а способности могут развиться и позже на основе систематических занятий математикой, овладения знаниями, умениями и навыками в этой области.

   Развитие способностей неразрывно связано с формированием интереса к математике. Заметив у ребенка интерес к математике, склонность заниматься ею, необходимо всемерно развивать эти интересы и склонности, поощрять детей в этом отношении. Если таких интересов и склонностей нет, следует попытаться пробудить их.

   Надо помнить, что математические способности должны сочетаться с глубокими и действенными интересами и склонностями к математике. Способности формируются и развиваются в деятельности. Интересующийся математикой ребенок, склонный заниматься ею, настойчиво изучает математику и тем самым энергично упражняет и развивает свои способности.

     Для пробуждения и развития интереса к математике важно популярно показать (не просто сказать об этом, а именно показать) ее значение для техники, физики и других отраслей науки, промышленности и сельского хозяйства. Хорошее средство формирования интереса к математике — постановка и решение практически значимых для ребенка задач (вычислить площадь участка довольно сложной формы, объем стога сена, произвести расчеты модели корабля или планера и т. п.).

   Очень полезно (и это многократно проверено на практике) учащимся читать научно-популярную математическую литературу, решать интересные задачи на смекалку.

Замечательные математические пособия — книги:

1. Я. И. Перельмана «Занимательная арифметика», «Занимательная алгебра», «Занимательная геометрия», «Живая математика»;
2. Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки»,
3. И. Я. Депмана «Рассказы о математике»;
4. Б. А. Кордемского «Математическая смекалка»;
5. Ф. Ф. Нагибина «Математическая шкатулка»;
6. А. И. Островского и Б. А. Кордемского «Геометрия помогает арифметике»

а так же различные занимательные сайты:

 http://pochemu4ka.ru   — Почемучка

http://udivit-matem.narod.ru/str2.html    — Занимательная математика

http://children.kulichki.net  — Математические задачи

http://funnymath.ru/ — Занимательная математика

http://www.math-on-line.com   — Математика оn-line

http://matemka.ucoz.ru/  — Занимательная математика

http://develop-kinder.com — Развивающие заданий, игры и конкрусы по математике

www.math-on-line.com — каталог развивающих программ по математике.

http://udivit-matem.narod.ru/ — удивительная математика. Большой обзор занимательных задач по математике.

http://www.turgor.ru — занимательная математика для начинающих

http://childmath.ru — интересная Математика в младшем дошкольном возрасте

http://smartkids.ru — занимательная математика

http://www.books4all.ru — книги по занимательной математике и арифметике

www.kindereducation.com — Занимательная математика и счет для дошкольников

— помогут вашим детям развить интерес к математике. 

Математика математикой, но о здоровье ребенка никогда забывать не следует.

Родители детей, проявляющих способности к математике, должны учесть следующие обстоятельства.

1. Некоторые дети, обладающие математическими способностями, ошибочно считают, что им можно особенно не утруждать себя занятиями математикой, так как способности их всегда «выручат». Учителя и родители должны постоянно убеждать их в том, что овладение математикой даже при наличии способностей требует настойчивости, трудолюбия, усидчивости, они должны терпеливо воспитывать эти качества, побуждать детей не отступать перед трудностями при решении математических задач, доводить дело до конца.
2. Родителям необходимо также следить, чтобы развитие способных к математике детей не принимало одностороннего характера. Нам нередко приходилось встречать таких родителей, которые считали, что способным к математике детям не нужно «попусту тратить силы и время» на изучение русского языка, литературы, истории, географии. Они добивались от детей отличных знаний по математике и вполне удовлетворялись посредственными оценками по другим предметам. Это — глубокая ошибка. Математическое развитие человека невозможно без повышения уровня его общей культуры. Нужно всегда стремиться к всестороннему, гармоническому развитию личности.
3. Очень важно, чтобы учителя и особенно родители правильно относились к математическим успехам детей и воспитывали бы и у них такое же правильное отношение к своим способностям.
4. Способных к математике детей не следует демонстрировать знакомым, рекламировать их способности, не надо, особенно в присутствии этих детей, восхвалять их успехи, противопоставлять их другим детям. Наоборот, надо чаще обращать внимание способного к математике ребенка на то, что он вовсе не исключительный человек, что другие дети тоже обладают способностями, только может быть, в другой области.
5. Родители поступят правильно, если чаще будут говорить ребенку: «Ты лучше некоторых товарищей знаешь математику, но они превосходят тебя в другом: Костя лучше тебя рисует, а Ира — прекрасная фигуристка». Необходимо воспитывать у детей скромную самооценку. 
6. Уверенность в своей исключительности, своей одаренности часто вредна, так как школьник перестает работать над собой, у него формируются самоуверенность, зазнайство, пренебрежение к другим детям, самовосхищеиие и самолюбование, что, как известно, тормозит развитие способностей.

ЗАДАЧИ, ПОЛЕЗНЫЕ ДЛЯ РАЗВИТИЯ СПОСОБНОСТЕЙ

   Очень полезно, если учащиеся будут пытаться сначала решить эти задачи (по крайней мере, многие из них) в уме, а уж потом приступят к письменному решению. Учитель математики поможет в оценке правильности решения. Если школьник уже знаком с алгеброй, то полезно побудить его сначала попытаться найти арифметическое решение, а уж потом решить задачу алгебраическим путем. Задачи не только полезны, но они и интересны, и учащиеся обычно с большим увлечением и упорством решают их. Разумеется, отнесение задачи к тому или иному типу (исключая первые 3 типа) до некоторой степени условно.

1. Задачи с несформулированным вопросом. В этих задачах нарочито не формулируется вопрос, но этот вопрос логически вытекает из данных в задаче математических отношений. Учащиеся упражняются в осмысливании логики данных в задаче отношений и зависимостей. Задача решается после того, как ученик сформулирует вопрос (иногда к задаче можно поставить несколько вопросов). В скобках указывается пропущенный вопрос.
2. Задачи с недостающими данными. В задачах этого типа отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. Школьник должен проанализировать задачу и доказать, почему нельзя дать точного ответа на вопрос задачи, чего не хватает, что надо добавить. В скобках указываются пропущенные данные.
3. Задачи с излишними данными. В эти задачи нарочито введены дополнительные ненужные данные, до известной степени маскирующие необходимые для решения показатели. Ученики должны выделить те данные, которые необходимы, для решения, и указать на лишние, ненужные (ненужные данные выделены курсивом).
4. Задачи на доказательство. Сущность этих задач в доказательстве определенных положений. Учащиеся упражняются в построении правильного, обоснованного, последовательного рассуждения.
5. Задачи на рассуждение (или составление уравнений).
6. Задачи с несколькими решениями. Для упражнения гибкости мышления важно, чтобы школьник умел находить несколько решений одной и той же задачи. Если эти решения неравноценны с точки зрения экономичности и рациональности, то ученик должен дать с этой точки зрения оценку каждому решению. Надо побуждать школьника найти наиболее рациональное, ясное, простое, изящное решение
7. Задачи на соображение. Для решения указанных задач не требуется никаких специальных знаний, однако в ряде случаев необходимо проявить известную изобретательность.
8. Задачи на логическое рассуждение. На задачах этой серии тренируется способность логически рассуждать, смекалка и сообразительность. Не все эти задачи являются математическими в узком смысле слова, некоторые из них являются логическими задачами.
9. Задачи с наглядным решением. Эти задачи сравнительно легко решаются с применением наглядно-образных средств (рисунков, схем, чертежей). Тренируется способность наглядно выражать математические соотношения задачи. Сначала ученика просят решить указанные задачи рассуждением, без опоры на наглядные образы.
10.  Задачи, требующие наглядных представлений. Задачи этого типа учащиеся должны решать в уме, без помощи карандаша и бумаги, без опоры на соответствующие фигуры или тела. Решение подобных задач тренирует пространственные представления, способность мысленно «видеть» соответствующие фигуры, тела, пространственные соотношения.

Статья по теме: Математические способности у детей младшего школьного возраста

Математические способности у детей младшего школьного возраста

Проблема развития математических способностей детей младшего возраста — одна из наименее разработанных на сегодня дидактических и методических проблем обучения математике в начальных классах. Крайняя разнородность взглядов на само понятие «математические способности» приводит к тому, что до сих пор отсутствуют сколько-нибудь концептуально обоснованные методики, что в свою очередь порождает сложности в работе учителей.

Исследователи, занимавшиеся проблемами математических способностей, формирования и развития математического мышления (А.Н. Колмогоров, В.А. Крутецкий, В.В. Давыдов, З.И. Калмыкова, И.В. Дубровина, К.А. Рыбников и др.), при всей разнородности высказываемых мнений, отмечают, прежде всего, специфические особенности мышления математически способного ребенка (а также профессионального математика), в частности, гибкость мышления, т.е. нешаблонность, неординарность, умение варьировать способы решения познавательной проблемы, с легкостью переходить от одного пути решения к другому, выходить за пределы привычного способа деятельности и находить новые варианты решения проблемы при измененных условиях. Очевидно, что эти особенности мышления напрямую зависят от особой организованности памяти (свободных и связанных ассоциаций), воображения и восприятия.

В школе нередко встречаются такие случаи: способный к математике ученик мало интересуется ею и не проявляет особых успехов в овладении этим предметом. Но если учитель сумеет пробудить у него интерес к математике и склонность заниматься ею, то такой ученик, «захваченный» математикой, может быстро добиться больших успехов. Подобные случаи имели место и в жизни известных ученых-математиков (Н.И.Лобачевский, М.В. Остроградский, Н.Н. Лузин и другие).

Сегодня особенно важен поиск путей повышения системности в подходе к развитию личности способного ребенка. Учеными и практиками стала осознаваться необходимость специально организованной целостной системы обучения и воспитания таких детей и целенаправленной комплексной работы по выявлению и развитию их потенциала.

Это обусловлено тем, что одаренность является системным образованием личности, так как она проявляется не только в выдающихся способностях, а тесно связана с личностными и характерологическими особенностями человека.

Данная тема является актуальной, так как приметой последнего времени стало повышение внимания к проблеме целостности влияния на развитие всех сторон личности ребенка. В связи с этим активизировался интерес и к проблеме развития математических способностей, к организации процесса обучения одаренных детей. Это связано прежде всего с тем, что успех развития общества зависит от количества входящих в его состав одаренных и талантливых людей, от наиболее полной реализации ими своих возможностей.

Сущность и содержание математических способностей

Способности, индивидуально-психологические особенности личности, являющиеся условиями успешного выполнения определенной деятельности. Различают общие и специальные способности. Общие способности – это свойства ума, которые лежат в основе разнообразных специальных способностей, выделяемых в соответствии с теми видами деятельности, в которых они проявляются. В психологических исследованиях выявлены компоненты, составляющие структуру специальных способностей. Например, в математических различают способности к формализованному восприятию математического материала и математическому обобщению, рациональному решению задач, «свертыванию» рассуждения.

Прежде всего, следует отметить характеризующее способных математиков и совершенно необходимое для успешной деятельности в области математики «единство склонностей и способностей в призвании», выражающееся в избирательно-положительном отношении к математике, наличии глубоких и действенных интересов в соответствующей области, стремлении и потребности заниматься ею, страстной увлеченности делом. Нельзя стать творческим работником в области математики, не переживая увлеченности этой работой, — она порождает стремление к поискам, мобилизует трудоспособность, активность. Без склонности к математике не может быть подлинных способностей к ней. Если ученик не чувствует никакой склонности к математике, то даже хорошие способности вряд ли обеспечат вполне успешное овладение математикой. Роль, которую здесь играют склонность, интерес, сводится к тому, что интересующийся математикой человек усиленно занимается ею, а следовательно, энергично упражняет и развивает свои способности. На это указывают постоянно сами математики, об этом свидетельствуют вся их жизнь и творчество.

 Характеристики одаренных учащихся ярко свидетельствуют о том, что способности действенно развиваются только при наличии склонностей или даже своеобразной потребности в математической деятельности. Все одаренные дети обладают обостренным интересом к математике, склонностью заниматься ею, ненасытным стремлением к приобретению знаний по математике, решению задач.

Но если способности, как правило, связаны со склонностью, то это не носит все-таки характера всеобщего закона. Ошибочно было бы, скажем, диагностировать наличие или отсутствие способностей по тому, имеется ли и как ярко выражена склонность к соответствующему виду деятельности. В отдельных случаях здесь может быть и расхождение.

Переживаемые человеком эмоции являются важным фактором развития способностей к любой деятельности, не исключая и математической. Радость творчества, чувство удовлетворения от напряженной умственной работы, эмоциональное наслаждение этим процессом повышают умственный тонус человека, мобилизуют его силы, заставляют преодолевать трудности. Равнодушный человек не может быть творцом. Одаренные дети отличаются глубоким эмоциональным отношением к математической деятельности, переживают настоящую радость, вызванную каждым новым достижением.

Большое значение в математическом творчестве имеют своеобразные эстетические чувства. Известный математик А. Пуанкаре писал о подлинно эстетическом чувстве, которое переживают математики, — чувстве математической красоты, гармонии чисел и форм, о чувстве геометрического изящества. «Математик творит, потому что красота мыслительных построений приносит ему радость», — писал Г. Ревеш. Это переживание изящества решения было очень характерным для способных учащихся.И весь их облик свидетельствовал о переживаемом ими эстетическом чувстве .

Возможность полного и интенсивного развития математических способностей, как и способностей вообще, всецело зависит от уровня развития характерологических черт, особенно волевых черт характера.

Как бы ни были блестящи способности человека, но если у него нет привычки усидчиво и упорно работать, он вряд ли способен достигнуть больших успехов в деятельности. Он в лучшем случае так и останется лишь потенциально способным. Упорство, настойчивость, работоспособность, трудолюбие постоянно проявляются в математической деятельности одаренных учащихся. Впрочем, бывают и исключения. Некоторые школьники, обладающие математическими способностями, ошибочно считают, что в области математики им не надо особенно трудиться, так как способности их «вывезут». Учителя и родители должны постоянно убеждать их в том, что овладение математикой даже при наличии способностей требует трудолюбия, настойчивости, усидчивости, должны терпеливо воспитывать эти качества, побуждать школьников не отступать перед трудностями при решении математических задач, доводить дело до конца.

Разумеется, все сказанное выше о характерологических чертах ученого-математика надо понимать в том смысле, что указанные черты могут проявляться избирательно, только в математической деятельности, не характеризуя других сторон его жизни и деятельности. Совершенно правильно указывают А. Г. Ковалев и В. Н. Мясищев, что ученый, в том числе и математик, может иметь слабую волю, плохую работоспособность, быстро утомляться, но в математической деятельности он же может проявлять совсем другие черты: высокую организованность, настойчивость, работоспособность.

Анализируя схему структуры математической одаренности, мы можем заметить, что определенные моменты в характеристике перцептивной, интеллектуальной и мнемической сторон математической деятельности имеют общее значение. Поэтому развернутую схему структуры можно представить и в иной, чрезвычайно сжатой формуле: математическая одаренность характеризуется обобщенным, свернутым и гибким мышлением в сфере математических отношений, числовой и знаковой символики и математическим складом ума. Эта особенность математического мышления приводит к увеличению скорости переработки математической информации (что связано с заменой большого объема информации малым объемом — за счет обобщения и свертывания) и, следовательно, экономии нервно-психических сил. Указанные способности в разной степени выражены у способных, средних и неспособных учеников. У способных при некоторых условиях такие ассоциации образуются «с места», при минимальном количестве упражнений. У неспособных же они образуются с чрезвычайным трудом. Для средних же учащихся необходимым условием постепенного образования таких ассоциаций является система специально организованных упражнений, тренировка.

Специфичность математических способностей. Возникает вопрос: в какой степени выделенные нами компоненты являются специфически математическими способностями?

Рассмотрим с этой точки зрения одну из основных способностей, выделенных нами в структуре математической одаренности,— способность к обобщению математических объектов, отношений и действий. Разумеется, способность к обобщению — по природе своей общая способность и обычно характеризует общее свойство обучаемости. Но речь-то идет в данном случае не о способности к обобщению, а о способности к обобщению количественных и пространственных отношений, выраженных в числовой и знаковой символике.

Чем можно аргументировать  точку зрения, заключающуюся в том, что способность к обобщению математического материала есть специфическая способность?

Во-первых, тем, что эта способность проявляется в специфической сфере и может не коррелировать с проявлением соответствующей способности в других областях. Иными словами, человек, талантливый вообще, может быть бездарным в математике. Д. И. Менделеев в школе отличался большими успехами в области математики и физики и получал нули и единицы по языковым предметам. А. С. Пушкин, судя по биографическим данным, учась в лицее, пролил много слез над математикой, приложил много трудов, но «успехов приметных не оказал».

Правда, есть немало случаев и сочетания математической и, например, литературной одаренности. Математик С. Ковалевская была талантливой писательницей, ее литературные произведения оценивались весьма высоко. Известный математик XIX в, В. Я. Буняковский был поэтом. Английский профессор математики Ч. Л. Доджсон (XIX в.) был талантливым детским писателем, написал под псевдонимом Льюиса Кэррола известную книгу «Алиса в стране чудес». С другой стороны, поэт В. Г. Бенедиктов написал популярную книгу по арифметике. А. С. Грибоедов успешно учился на математическом факультете университета. Известный драматург А. В. Сухово-Кобылин получил математическое образование в Московском университете, проявлял большие способности к математике и за работу «Теория цепной линии» получил золотую медаль. Серьезно интересовался математикой Н. В. Гоголь. М. Ю. Лермонтов очень любил решать математические задачи. Серьезно занимался методикой преподавания арифметики Л. Н. Толстой.

Во-вторых, можно указать на целый ряд зарубежных исследований, которые показали, правда, основываясь только на тестовой методике и корреляционном и факторном анализе, слабую корреляцию между показателем интеллекта (известно, что способность к обобщению — одна из важнейших характеристик общего интеллекта) и тестами на достижения в математике.

В-третьих, для обоснования нашей точки зрения можно сослаться на учебные показатели (оценки) детей в школе. Многие учителя указывают, что способность к быстрому и глубокому обобщению может проявляться в каком-нибудь одном предмете, не характеризуя учебной деятельности школьника по другим предметам

Все сказанное выше позволяет  сформулировать положение о специфичности математических способностей в следующем виде. Те или иные особенности умственной деятельности школьника могут характеризовать только его математическую деятельность, проявляться только в сфере пространственных и количественных отношений, выраженных средствами числовой и знаковой символики, и не характеризовать других видов его деятельности, не коррелировать с соответствующими проявлениями в других областях. Таким образом, общие по своей природе умственные способности (например, способность к обобщению) могут в ряде случаев выступать как специфические способности (способность к обобщению математических объектов, отношений и действий).

Мир математики — мир количественных и пространственных отношений, выраженных посредством числовой и знаковой символики, очень специфичен и своеобразен. Математик имеет дело с условными символическими обозначениями пространственных и количественных отношений, мыслит ими, комбинирует, оперирует ими. И в этом очень своеобразном мире, в процессе весьма специфической деятельности общая способность так преобразуется, так трансформируется, что, оставаясь общей по своей природе, выступает уже как специфическая способность.

Разумеется, наличие специфических проявлений общей способности никак не исключает возможности других проявлений этой же общей способности (как наличие у человека способностей к математике не исключает наличия у него же способностей и в других областях).

О природе математических способностей. По этому поводу В.А. Крутецкий утверждает: «Материалы нашего исследования — анализ многочисленной литературы, анализ случаев чрезвычайно высокой математической одаренности в детском и зрелом возрасте (последнее — по биографическим материалам) — позволяют выделить некоторые факты, представляющие особый интерес для постановки вопроса о природе математической одаренности. Эти факты таковы: 1) частое (хотя и не обязательное) весьма раннее формирование способностей к математике, нередко в неблагоприятных условиях (например, при явном противодействии родителей, опасающихся столь раннего яркого проявления способностей) и при отсутствии на первых порах систематического и целенаправленного обучения; 2) острый интерес и склонность к занятиям математикой, также часто проявляющиеся в раннем возрасте; 3) большая (и часто избирательная) работоспособность в области математики, связанная с относительно малой утомляемостью в процессе напряженных занятий математикой, и 4) характеризующая очень способных к математике людей математическая направленность ума как своеобразная тенденция воспринимать многие явления через призму математических отношений, осознавать их в плане математических категорий»

Все это позволяет выдвинуть гипотезу о роли прирожденных функциональных особенностей мозга в случаях особой математической одаренности — мозг некоторых людей своеобразно ориентирован (настроен) на выделение из окружающего мира раздражителей типа пространственных и числовых отношений и символов и на оптимальную работу именно с такого рода раздражителями. В ответ на раздражители, имеющие математическую характеристику, связи образуются относительно быстро, легко, с меньшими усилиями и меньшей затратой сил. Аналогично неспособность к математике (имеются в виду также крайние случаи) имеет своей первопричиной большую затрудненность выделения мозгом раздражителей типа математических обобщенных отношений, функциональных зависимостей, числовых абстрактов и символов и затрудненность операций с ними. Иными словами, некоторые люди обладают такими прирожденными характеристиками строения и функциональных особенностей мозга, которые крайне благоприятствуют (или, наоборот, весьма не благоприятствуют) развитию математических способностей.

И на вопрос: «Математиком можно стать или им нужно родиться?» — мы гипотетически ответили бы так: «Обычным математиком можно стать; выдающимся, талантливым математиком нужно и родиться».

Выяснение физиологической природы математических способностей является важной задачей дальнейших исследований в этой области. Современный уровень развития психологии и физиологии вполне позволяет поставить вопрос о физиологической природе и физиологических механизмах некоторых специфических способностей человека.

Таким образом, В.А. Крутецкий установил, что для успешного выполнения математической деятельности необходимо:

— активное, положительное отношение к предмету, склонность заниматься им, переходящая на высоком уровне развития в страстную увлеченность;

— ряд черт характера, прежде всего трудолюбие, организованность, самостоятельность, целеустремленность, настойчивость, а также устойчивые интеллектуальные чувства;

— наличие во время деятельности благоприятных для ее выполнения психических состояний;

— определенный фонд знаний, умений и навыков в соответствующей области;

— отвечающие требованиям данной деятельности индивидуально-психологические особенности в сенсорной и умственной сферах.

При этом первые четыре категории перечисленных свойств следует рассматривать как общие свойства, необходимые для всякой деятельности, а не считать их компонентами способностей, так как иначе компонентами способностей должны считаться интересы и склонности, черты характера, психические состояния, а также умения и навыки.

Последняя группа качеств является специфической, определяющей успешность только в конкретном виде деятельности. Это объясняется тем, что эти качества, прежде всего, проявляются в специфической сфере и не связаны с проявлением способностей в других областях.

2. Развитие математических способностей у детей младшего школьного возраста

В современной психологии признается, что способности в значительной степени обусловлены задатками человека, его внутренним индивидуально-психологическим потенциалом. Словарь психологических терминов определяет способности следующим образом: это качества личности, определяющие успешность овладения той или иной деятельностью и совершенствование в ней . Там же отмечено, что способности тесно связаны с физиологическими особенностями индивида (и именно в этом смысле люди не равны). В известной монографии В.А. Крутецкого отмечается, что математические способности — это индивидуально-психологические особенности человека, помогающие ему при прочих равных условиях относительно быстрее, лучше и глубже овладевать знаниями, умениями и навыками в области математики . В том же смысле трактует понятие способностей и известный специалист в области дошкольной психологии О.М. Дьяченко, рассматривая способности как некоторые психические свойства, обусловливающие возможности человека в тех или иных видах деятельности .

Безусловно, способности обусловлены индивидуальными различиями психики человека, в основе которых лежат генетические комбинации биологических (нейрофизиологических) компонентов. Однако пока еще нет доказательств того, что те или иные свойства нервных тканей напрямую влияют на проявление или отсутствие у человека тех или иных способностей. Более того, целенаправленная компенсация неблагоприятных природных задатков может привести к формированию личности, обладающей ярко выраженными способностями, чему в истории есть немало примеров. Математические способности относятся к группе так называемых специальных способностей (как и музыкальные, изобразительные и др.). Для их проявления и дальнейшего развития требуется усвоение определенного запаса знаний и наличие определенных умений, в том числе и умения применять имеющиеся знания в мыслительной деятельности.

Математика является одним из тех предметов, где индивидуальные особенности психики ребенка (внимание, восприятие, память, мышление, воображение) имеют решающее значение для его усвоения. За важными характеристиками поведения, за успешностью (или неуспешностью) учебной деятельности часто скрываются те или иные природные динамические особенности личности. Нередко они порождают и различия в знаниях — их глубине, прочности, обобщенности. По этим качествам знаний, относящимся — наряду с ценностными ориентациями, убеждениями, навыками — к содержательной стороне психической жизни человека, обычно судят об одаренности детей. Индивидуальность и одаренность — вещи взаимосвязанные.

Исследователи, такие, как А. Н. Колмогоров, В. А. Крутецкий, В. В. Давыдов, З. И. Калмыкова, И. В. Дубровина, К. А. Рыбников и др., выделяют такие понятия, как глубина мышления, т.е. умение проникать в сущность каждого изучаемого факта и явления, видеть их взаимосвязи с другими фактами и явлениями, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале , а также целенаправленность мышления, сочетающаяся с его широтой, т.е. способностью к формированию обобщенных способов действий, умением охватить проблему целиком, не упуская деталей. Психологический анализ этих категорий показывает, что в их основе должна лежать специально сформированная или природная склонность к структурному подходу к проблеме и предельно высокая устойчивость, концентрация и большой объем внимания.

Таким образом, индивидуальные различия психики и особенности личности каждого ученика в отдельности, под которыми понимается и темперамент, и характер, и задатки, и соматическая организация личности в целом, и ряд других факторов, оказывают существенное (а может быть, даже определяющее) влияние на формирование и развитие математического стиля мышления ребенка. Последнее является необходимым условием сохранения природного потенциала (задатков) ребенка в математике и его дальнейшего развития в ярко выраженные математические способности.

Можно говорить о возможности формирования «лаконизма» речи, «скрупулезной точности символики», «четкой расчлененности хода аргументации» и т.п. — все это формируется с методической точки зрения, хотя и является непростой методической задачей. Однако вряд ли возможно с одинаковой успешностью формировать у всех детей гибкость, широту и глубину мышления, а также совершенно специфическую способность «мыслить такими образами, которые непонятны и невидимы для тех, кто видит лишь голые символы» .

Опытные учителя-предметники хорошо знают, что математические способности — «товар штучный», и если не заниматься математически одаренным ребенком индивидуально (подчеркнем: индивидуально, а не в рамках кружка или факультативна), то эти способности могут и не развиться дальше. Именно поэтому часто бывает, что выделяющийся своими способностями и возможностями первоклассник к третьему классу «выравнивается», а в пятом и вовсе перестает отличаться от других детей. Учителя в этом случае склонны полагать, что способности ребенка были не особенно «выдающимися» и исчерпали себя. Так ли это?

Исследования психологов (Н.С. Лейтеса, Г. Мелхорна и др.) показывают, что могут быть два разных типа возрастного умственного развития: 1. «Ранний подъем» (в дошкольном или младшем школьном возрасте) — он обусловлен наличием ярких природных способностей и задатков соответствующего типа. В дальнейшем может произойти закрепление и обогащение умственных достоинств, что служит базой для становления выдающихся умственных способностей. При этом биографические данные свидетельствуют, что почти все ученые, проявившие себя до 20 лет, были математиками.

2. «Замедленный и растянутый подъем», т.е. постепенное накопление потенциала способностей. Отсутствие ранних достижений в этом случае не означает, что предпосылки больших или выдающихся способностей не выявятся в дальнейшем. Таким возможным «подъемом» является возраст 16-17 лет, когда фактором «интеллектуального взрыва» служит социальная переориентация личности, направляющая ее активность в это русло. Однако такой «подъем» может произойти и в более зрелые годы.

Для учителя начальных классов наиболее актуальной является проблема «раннего подъема», приходящаяся на возраст 6-9 лет. Не секрет, что один такой ребенок в классе, обладающий ярко выраженными способностями и к тому же сильным типом нервной системы, в буквальном смысле слова, «никому из детей и рта открыть на уроке не дает». И в результате, вместо того, чтобы максимально стимулировать и развивать маленького «вундеркинда», учитель заставляет его молчать и «держать свои гениальные мысли при себе, пока не спросят». Ведь в классе еще 25 других, не настолько сообразительных детей. Такое «притормаживание», если оно приобретает систематический характер, как раз и может привести к тому, что через 3-4 года ребенок «выравнивается» со сверстниками. А поскольку математические способности относятся к группе «ранних способностей», то именно математически способные дети будут «потеряны» в процессе этого «притормаживания» и «выравнивания».

Психологические исследования (Н. С. Лейтеса, А. И. Савенкова, М. А. Холодной и др.) показали, что, хотя развитие учебных способностей и творческой одаренности у детей с различными типологическими особенностями нервной системы протекает по-разному, равно высокой степени развития этих способностей могут добиться (достичь) дети с противоположными характеристиками нервной системы. Учителю, возможно, полезнее ориентироваться не на типологические особенности нервной системы детей, а на некоторые общие особенности способных и талантливых детей, которые отмечают большинство исследователей этой проблемы. Рассмотрим их подробнее.

Разные авторы (В. А. Крутецкий, С. И. Савенков, Н. С. Лейтес и др.) выделяют различные «комплекты» общих особенностей способных детей в рамках тех видов деятельности, в которых эти способности исследовались (математика, музыка, живопись и т.п.). В связи с этим учителю удобнее опираться на некоторые чисто процессуальные характеристики деятельности способных детей, которые, как показывает сопоставление ряда специальных психологических и педагогических исследований по этой теме, оказываются едиными для детей с различными видами способностей и одаренности. Отмечается, что большинству способных детей свойственны:

Повышенная склонность к умственным действиям и положительный эмоциональный отклик на любую новую умственную нагрузку. Эти дети не знают, что такое скука, — у них всегда есть занятие. Некоторые психологи вообще трактуют эту черту как возрастной фактор одаренности.

Постоянная потребность в возобновлении и усложнении умственной нагрузки, что влечет за собой постоянное повышение уровня достижений. Если способного ребенка не нагружать, то он сам находит себе нагрузку и может абсолютно «сам по себе» осваивать шахматы, музыкальный инструмент, радиодело, изучать энциклопедии и справочники, читать специальную литературу, сочинять романы и т.д.

Стремление к самостоятельному выбору дел и планированию своей деятельности. Способный ребенок часто имеет обо всем свое мнение, упорно отстаивает неограниченную инициативу своей деятельности, обладает высокой (и при этом почти всегда адекватной) самооценкой и весьма настойчив в самоутверждении в выбранной области.

Совершенная саморегуляция. Ребенок способен на полную мобилизацию сил для достижения цели; может неоднократно возобновлять умственные усилия, стремясь добиться поставленной цели; имеет как бы «изначальную» установку на преодоление любых трудностей, а неудачи его только «раззадоривают», заставляя с завидным упорством стремиться их преодолеть.

5. Повышенная работоспособность. Длительные интеллектуальные нагрузки не утомляют ребенка — наоборот, он чувствует себя хорошо именно в ситуации наличия проблемы, требующей решения. Чисто инстинктивно он умеет использовать все резервы своей психики и своего мозга, мобилизуя и переключая их в нужный момент.

Эти общие процессуальные характеристики деятельности способных детей, признаваемые психологами статистически значимыми, не присущи какому-то одному типу нервной системы человека. Учет этих характеристик в каждодневной педагогической практике позволяет говорить о возможности построения системы педагогических принципов организации работы со способными к математике детьми в начальных классах. Сформулируем эти принципы:

1. Отсутствие регламентации предметной активности. Данный принцип требует разработки специальных обучающих методических материалов по математике, конструирующих содержание с учетом проблемности, вариативности, личной значимости.

Эти материалы должны предоставлять ребенку свободу выбора темпа обучения, объема материала для «разовой» проработки, но в то же время должны нести и регулирующую функцию, поскольку речь не идет об абсолютно «свободном полете». Такова специфика математики как учебного предмета. Подобный материал должен быть построен на основе дозируемости, последовательности, преемственности и адекватности подачи математического содержания. Однако регламентацию в его изучении следует отменить, т.е. отменить принцип поурочности, реализованный сегодня абсолютно во всех учебных пособиях по математике для начальных классов. Очевидно, что с дидактической точки зрения способные дети нуждаются, как минимум, в обеспечении оптимального темпа продвижения в содержании и оптимального объема учебной нагрузки. Причем оптимального для себя, для своих способностей, т.е. более высокого, чем для обычных детей.

Способный ребенок требует постоянного усложнения умственной нагрузки, имеет устойчивую тягу к саморегуляции своей деятельности и повышенную работоспособность, которые он в обычных условиях массового обучения не может реализовать.

С достаточной уверенностью беремся утверждать, что в школе эти дети отнюдь не являются «благополучными» учениками, поскольку их учебная деятельность постоянно проходит не в зоне ближайшего развития, а далеко позади этой зоны. Таким образом, в отношении этих учеников (вольно или невольно) постоянно нарушается основной принцип дидактики развивающей педагогики, который требует обучения ребенка с учетом зоны его ближайшего развития. Отсюда очевидным является второй принцип:

2. Обеспечение содержательной нагрузки в зоне ближайшего развития. Этот принцип, общий для любой системы развивающего обучения, кажется неоригинальным в данном контексте, однако соблюдение именно этого принципа является сегодня наиболее проблемным для учителя начальных классов в области математического образования способных детей. Работа со способными детьми в начальных классах — ничуть не менее «больная» проблема, чем работа с неуспевающими учениками. Меньшая ее популярность в специальных педагогических и методических изданиях объясняется тем, что она меньше «бросается в глаза», так как двоечник Вася — вечный источник неприятностей для учителя, а то, что Петина пятерка и вполовину не отражает его возможностей, знает только учитель (и то не всегда) да Петины родители (если они занимаются этим вопросом специально). Постоянная «недогрузка» способного ребенка (а то, что является нормой для всех, — это для способного ребенка недогрузка) будет приводить к недостаточной стимуляции развития способностей и в итоге — к возможному угасанию этих способностей как невостребованных в учебной деятельности (ведущей в этот период жизни ребенка).

Есть и более серьезное и неприятное следствие вышеозначенной ситуации: способному ребенку слишком легко учиться на начальном этапе, и в результате у него недостаточно формируется умение преодолевать трудности, не вырабатывается «иммунитет» к неудачам, чем в большой мере объясняется массовый «обвал» успеваемости таких детей при переходе из начального в среднее звено.

3. Принцип диалогического взаимодействия и социального подкрепления. С педагогической позиции очевидно, что способный ребенок в наибольшей степени нуждается в диалогическом инструктивном стиле отношений с учителем, требующем большей информативности и обоснованности выдвигаемых требований со стороны учителя, субъектсубъектного взаимодействия, демократизации педагогического общения. Инструктивный стиль, в противоположность императивному, господствующему в начальной школе, предполагает апеллирование к личности ученика, учет его индивидуальных особенностей и ориентацию на них. Такой стиль отношений, в свою очередь, способствует развитию в детях независимости, инициативности и творческих потенций, что отмечается многими педагогами-исследователями (Ш.А. Амонашвили, Б.Т. Лихачевым и др.).

4. Принцип зеркала, или, как говорят математики, принцип симметричности, безусловно, является идеальным завершением системы принципов работы со способным ребенком по математике. Психологи формулируют его следующим образом: «наличие образца креативного поведения взрослого как организующего начала творческого развития ребенка» (С.Г. Глухова, М.И. Кошенова, Е.Е. Кравцова и другие). Иными словами, если учитель подает пример творческой математической деятельности, ребенок «впитывает» и «отражает» эту «творческость» в большой мере. В математическом развитии, пожалуй, более, чем в других областях знаний, наличие способного к математике взрослого рядом со способным к математике ребенком является значимо влияющим фактором развития математических способностей.

Однако для того, чтобы учитель массовой школы мог успешно справляться с организацией работы со способным ребенком по математике, недостаточно обозначить педагогические аспекты проблемы. Как показала тридцатилетняя практика реализации системы развивающего обучения, для того, чтобы эта проблема могла быть решена в условиях массовой начальной школы, необходимо конкретное и принципиально новое методическое обеспечение, в полном виде представленное учителю.

Создание специальных методических материалов по математике для работы со способными детьми — это единственно возможный в перспективе способ реализации принципа индивидуализации обучения в отношении этих детей в условиях обучения целого класса.

С педагогической позиции способный ребенок в наибольшей степени нуждается в инструктивном стиле отношений с учителем, требующем большей информативности и обоснованности выдвигаемых требований со стороны учителя. Инструктивный стиль в противоположность императивному стилю, господствующему в начальной школе, предполагает апеллирование к личности ученика, учет его индивидуальных особенностей и ориентацию на них. Такой стиль отношений способствует развитию независимости, инициативности и творческих потенций, что отмечается многими педагогами-исследователями.

Столь же очевидно, что с дидактической точки зрения способные дети нуждаются, как минимум, в обеспечении оптимального темпа продвижения в содержании и оптимального объема учебной нагрузки. Причем оптимального для себя, для своих способностей, т.е. более высокого, чем для обычных детей. Если учесть при этом необходимость в постоянном усложнении умственной нагрузки, настойчивую тягу к саморегуляции своей деятельности и повышенную работоспособность этих детей, можно с достаточной уверенностью утверждать, что в школе эти дети отнюдь не являются «благополучными» учениками, поскольку их учебная деятельность постоянно проходит не в зоне ближайшего развития. Таким образом, в отношении этих учеников мы (вольно или невольно) постоянно нарушаем нами провозглашаемое кредо, основной принцип развивающего обучения, требующий обучения ребенка с учетом зоны его ближайшего развития.

Статья по математике на тему: Развитие математических способностей у младших школьников

Развитие математических способностей

у младших школьников

Способности формируются и развиваются в процессе обучения, овладения соответствующей деятельностью, поэтому нужно формировать, развивать, воспитывать и совершенствовать способности детей. В период с 3-4 лет до 8-9 лет происходит бурное развитие интеллекта. Поэтому в период младшего школьного возраста возможности развития способностей наиболее высокие.

Под развитием математических способностей младшего школьника понимается целенаправленное дидактически и методически организованное формирование и развитие совокупности взаимосвязанных свойств и качеств математического стиля мышления ребенка и его способностей к математическому познанию действительности.

Проблема способностей — это проблема индивидуальных различий. При самой лучшей организации методики обучения ученик будет успешнее и быстрее продвигаться в какой-нибудь одной области, чем в другой.

Естественно, что успех в учении определяется не только одними способностями школьника. В этом смысле имеет ведущее значение содержание и методы обучения, а также отношение ученика к предмету. Поэтому успешность и не успешность в обучении не всегда дают основания для суждений о характере имеющихся у школьника способностей.

Наличие слабых способностей у учащихся не освобождает учителя от необходимости, насколько возможно, развивать способности этих учащихся в данной области. Вместе с тем стоит не менее важная задача — всемерно развивать его способности в той области, в которой он проявляет их.

Нужно воспитывать способных и отбирать способных, при этом не забывая обо всех школьниках, всемерно поднимать общий уровень их подготовки. В связи с этим в своей работе нужно различные коллективные и индивидуальные методы работы, чтобы таким образом активизировать деятельность учащихся.

Процесс обучения должен носить комплексный характер как в плане организации самого процесса обучения, так и в плане формирования у учащихся глубокого интереса к математике, умений и навыков решения задач, понимания системы математических знаний, решение с учащимися особой системы нестандартных задач, которые должны предлагаться не только на уроках, но и на контрольных работах. Таким образом, особая организация подачи учебного материала, хорошо продуманная система задач, способствуют увеличению роли содержательных мотивов изучения математики. Уменьшается число учащихся с ориентацией на результат.

На уроке должны всячески поощряться не просто решения задач, а необычность применяемого учащимися способа решения задач, в связи с этим особое значение возлагается не только на результат в ходе решения задачи, но красоту и рациональность способа.

Преподаватели успешно используют методику «составления задач» для определения направленности мотивации. Каждая задача оценивается по системе следующих показателей: характер задачи, ее правильность и отношение к исходному тексту. Этот же метод иногда используется вином варианте: после решения задачи учащимся предлагалось составить любые задачи, как-то связанные с исходной задачей.

Для создания психолого-педагогических условий повышения эффективности организации системы процесса обучения используется принцип организации процесса обучения в форме предметного общения с использованием кооперативных форм работы учащихся. Это групповое решение задач и коллективное обсуждение выставления оценок, парная и бригадная формы работы.

Методика использования системы долгосрочных заданий рассматривалась Е.С. Рабунским при организации работы со старшеклассниками в процессе обучения немецкому языку в школе.

В ряде педагогических исследований рассматривалась возможность создания систем таких заданий по различным предметам для учеников старших классов как по усвоению нового материала, так и по устранению пробелов знаний. В ходе исследований отмечено, что абсолютное большинство учеников предпочитает и тот, и другой вид работы выполнять в форме «долгосрочных заданий» или «отсроченной работы». Такой вид организации учебной деятельности, традиционно рекомендуемый главным образом для трудоемких творческих работ (сочинений, рефератов и т.д.), оказался наиболее предпочтительным для большинства опрошенных школьников. Оказалось, что такая «отсроченная работа» удовлетворяет школьника больше, чем отдельные уроки и задания, так как основным критерием удовлетворенности ученика в любом возрасте выступает успешность в работе. Отсутствие резкого временного ограничения (как это бывает на уроке) и возможность свободного многократного возвращения к содержанию работы позволяет справиться с ней гораздо успешнее. Таким образом, задания, рассчитанные на длительную подготовку, можно рассматривать также как средство воспитания положительного отношения к предмету.

Многие годы считалось, что все сказанное относится только к ученикам старшего возраста, но не соответствует особенностям учебной деятельности учеников начальных классов. Анализ процессуальных характеристик деятельности способных детей младшего школьного возраста и опыт работы Белошистой А.В. и учителей, принявших участие в экспериментальной проверке данной методики, показал высокую эффективность предлагаемой системы при работе со способными детьми.         Первоначально для разработки системы заданий (в дальнейшем будем именовать их листы в связи с формой их графического оформления, удобной для работы с ребенком) были отобраны темы, связанные с формированием вычислительных навыков, которые традиционно рассматриваются учителями и методистами как темы, требующие постоянного руководства на этапе знакомства и постоянного контроля на этапе закрепления.

В ходе экспериментальной работы было разработано большое количество листов на печатной основе, объединенных в блоки, охватывающие целую тему. Каждый блок содержит 12-20 листов. Лист представляет собой большую систему заданий (до полусотни заданий), методически и графически организованных таким образом, чтобы по мере их выполнения ученик мог самостоятельно подойти к пониманию сути и способа выполнения нового вычислительного приема, а затем закрепить новый способ деятельности. Лист (или система листов, т.е. тематический блок) представляет собой «долгосрочное задание», сроки выполнения которого индивидуализированы в соответствии с желанием и возможностями ученика, работающего по этой системе. Такой лист можно предлагать на уроке или вместо домашнего задания в виде задания «с отложенным сроком» исполнения, который учитель либо устанавливает индивидуально, либо позволяет ученику (этот путь более продуктивен) самому установить для себя срок его выполнения (это путь формирования самодисциплины, так как самостоятельное планирование деятельности в связи с самостоятельно определенными целями и сроками — это основа самовоспитания человека).

Тактику работы с листами учитель определяет для ученика индивидуально. На первых порах их можно предлагать ученику в качестве домашнего задания (вместо обычного задания), индивидуально договариваясь о сроках его выполнения (2-4 дня). По мере освоения этой системы, можно перейти к предваряющему или параллельному способу работы, т.е. давать ученику лист до знакомства с темой (накануне урока) или на самом уроке для самостоятельного освоения материала.         Внимательное и доброжелательное наблюдение за учеником в процессе деятельности, «договорной стиль» отношений (пусть ребенок сам решит, когда он хочет получить этот лист), возможно даже освобождение от других уроков в этот или следующий день для концентрации внимания на задании, консультативная помощь (на один вопрос всегда можно ответить сразу, проходя мимо ребенка на уроке) — все это поможет учителю в полной мере сделать процесс обучения способного ребенка индивидуализированным без больших затрат времени.

Не следует заставлять детей переписывать задания с листа. Ученик работает карандашом на листе, записывая ответы или дописывая действия. Такая организация обучения вызывает у ребенка положительные эмоции — ему нравится работать на печатной основе. Избавленный от необходимости утомительного переписывания ребенок работает с большей производительностью. Практика показывает, что хотя листы содержат до полусотни заданий (обычная норма домашнего задания 6-10 примеров), ученик с удовольствием работает с ними. Многие дети просят новый лист каждый день! Иными словами, они перевыполняют рабочую норму урока и домашнего задания в несколько раз, испытывая при этом положительные эмоции и работая по собственному желанию.

В ходе эксперимента такие листы были разработаны по темам: «Устные и письменные вычислительные приемы», «Нумерация», «Величины», «Дроби», «Уравнения».

Методические принципы построения предлагаемой системы:

1. Принцип соответствия программе по математике для начальных классов. Содержательно листы привязаны к стабильной (типовой) программе по математике для начальных классов. Таким образом, реализовать концепцию индивидуализации обучения математике способного ребенка в соответствии с процессуальными особенностями его учебной деятельности мы полагаем возможным при работе по любому учебнику, соответствующему типовой программе.
2. Методически в каждом листе реализован принцип дозированности, т.е. в одном листе вводится только один прием, или одно понятие, или раскрывается одна, но существенная для данного понятия связь. Это, с одной стороны, помогает ребенку четко осознать цель работы, а с другой — помогает учителю легко отслеживать качество усвоения этого приема или понятия.
3. Структурно лист представляет собой подробное методическое решение задачи введения или знакомства и закрепления того или иного приема, понятия, связей этого понятия с другими понятиями. Задания подобраны и сгруппированы (т.е. имеет значение и порядок их размещения на листе) таким образом, чтобы ребенок мог «двигаться» по листу самостоятельно, отталкиваясь от уже знакомых ему простейших способов действий, и постепенно осваивать новый способ, который на первых шагах полностью раскрыт в более мелких действиях, являющихся основой данного приема. По мере продвижения по листу, эти мелкие действия постепенно компонуются в более крупные блоки. Это позволяет ученику самому освоить прием в целом, что является логическим завершением всей методической «конструкции». Такая структура листа позволяет в полной мере реализовать принцип постепенного нарастания уровня сложности на всех этапах.
4. Такая структура листа позволяет реализовать и принцип доступности, причем в гораздо более глубокой степени, чем это удается сегодня сделать при работе только с учебником, так как систематическое использование листов позволяет усваивать материал в удобном для ученика индивидуальном темпе, который ребенок может регулировать самостоятельно.
5. Система листов (тематический блок) позволяет реализовать принцип перспективности, т.е. постепенное включение ученика в деятельность планирования учебного процесса. Задания, рассчитанные на длительную (отсроченную) подготовку, требуют перспективного планирования. Умение же организовать свой труд, спланировав его на определенный срок, является важнейшим учебным умением.
6. Система листов по теме позволяет также реализовать принцип индивидуализации проверки и оценки знаний учащихся, причем не на основе дифференциации уровня сложности заданий, а на основе единства требований к уровню знаний, умений и навыков. Индивидуализированные сроки и способы выполнения заданий позволяют предъявлять всем детям задания одного уровня сложности, соответствующего программным требованиям к норме. Это не означает, что талантливым детям не надо предъявлять требования более высокого уровня. Листы на определенном этапе позволяют таким детям использовать более насыщенный с интеллектуальной точки зрения материал, который в пропедевтическом плане будет знакомить их со следующими математическими понятиями более высокого уровня сложности.

Руководство по навыкам изучения математики

Математика отличается от любого другого предмета. Он объективен, использует определенные процедуры, включает символы и формулы, и у него есть собственный словарь. Следовательно, навыки обучения, необходимые для успеха в математике, также уникальны. Хотя не существует единственного правильного способа изучения математики, ниже приведены несколько наиболее важных вещей, советов и учебных навыков, которые вам необходимо знать, чтобы преуспеть в математике.

Математика требует активного обучения.

В отличие от некоторых академических предметов, вы не можете преуспеть или даже стать знатоком математики, просто слушая и читая. Математика требует активных занятий. Следовательно, чтобы изучать математику, вы должны делать все свои домашние задания и задания. Если вы не сделаете домашнее задание или не выполните задания, вы не запомните формулы или не усвоите процедуры, необходимые для того, чтобы действительно овладеть математикой.

Некоторые люди думают, что они просто плохо разбираются в математике.Наш опыт показывает, что большинство людей могут заниматься математикой, однако большинству людей действительно нужно работать, чтобы овладеть математикой. Хотя пары часов на подготовку к экзамену по истории в конце семестра обычно достаточно, математика требует рутинного изучения и ежедневного обучения. Любой, кто не желает активно участвовать в процессе изучения математики, будет бороться.

Математика является накопительной.

Математика — очень последовательный предмет. То, что вы узнаете однажды, основывается на том, что вы узнали ранее, и требуется для поддержки будущего обучения.Это как строительные блоки. Если вы пропустите любой из строительных блоков, вы не сможете прогрессировать. Вот почему в математике ученикам так легко отставать, если они пропускают школу или не выполняют домашнее задание вовремя. Хотя зубрежка может помочь вам сдать тесты по другим учебным предметам, она мало что поможет вам сдать тесты по математике.

По мере обучения в школе вы также обнаружите, что один урок математики опирается на другой. Например, без успешного завершения средней школы алгебры может быть очень трудно понять алгебру колледжа.Нельзя плохо работать один год и рассчитывать на успех в следующем. Вам придется вернуться и заново изучить предыдущие математические концепции и предметы, которые вы не изучили в предыдущие годы.

Сосредоточьтесь на принципах.

В большинстве средних и младших классов по истории в колледжах все, что вам нужно пройти, — это способность запоминать имена, даты и события. Однако с математикой вы обнаружите, что механическое запоминание формул и уравнений не поможет. Да, вам нужно уметь запоминать информацию, но это только начало.Что еще более важно, вам нужно знать, как использовать формулы, понимать, как работают уравнения и применять математические процессы.

Математика включает в себя так много формул, уравнений и процедур, что бывает сложно все запомнить. Не пытайтесь запомнить все. В математике понимание важнее знаний. Когда вы начнете заниматься в колледже на курсах продвинутой математики, некоторые профессора могут разрешить вам взять с собой на тесты список формул. Другие могут даже предоставить тесты по открытой книге.Все знания мира не помогут вам, если вы не понимаете математических принципов. Сосредоточьтесь на развитии хорошего понимания всех основных концепций.

Многие процедуры, используемые для решения одной математической задачи, могут использоваться для решения других математических задач. По мере того, как вы прогрессируете в математике, попробуйте применить то, что вы узнали ранее, к каждой новой математической задаче, с которой вы сталкиваетесь.

Выучите словарный запас.

У математики есть свой словарный запас.Кроме того, многие часто используемые слова имеют разное значение в сочетании с математикой. Найдите время, чтобы создать журнал математического словаря, в котором вы записываете и определяете каждый новый термин математического словаря, с которым вы сталкиваетесь.

Многие студенты быстро приходят к выводу, что они просто не подходят для математики или просто не могут ее понять. Это случается очень редко. Математика требует терпения, дисциплины и целеустремленности. Если вы посвятите себя, верите в себя и приложите усилия, вы справитесь с математикой — и вы даже можете обнаружить, что она вам действительно нравится.

Математика становится все сложнее и труднее.

Математика со временем становится все более сложной. Следовательно, многим ученикам приходится тратить больше времени на изучение математики, чем на другие предметы, чтобы добиться успеха. После того, как вы попадаете в колледж на алгебру, тригонометрию и математику, нередко тратить несколько часов в ночь на изучение математики. Итак, если изучение математики отнимает все ваше время, вы не одиноки.

Ведение записей.

Студенты часто записывают то, что, по их мнению, записывает профессор или инструктор.К сожалению, большинство профессоров и преподавателей пренебрегают записью каждой важной концепции, которую обсуждают. Если не указано иное, вы должны сосредоточить свои записи на ключевых концепциях и формулах, обсуждаемых во время занятия.

Включите в свою заметку любые пояснительные замечания, сделанные инструктором. Они часто никогда не записываются преподавателем, но являются ключом к полному пониманию обсуждаемого математического принципа или концепции.

Делайте подробные записи о формулах или концепциях, которые подчеркивает инструктор, поскольку они могут появиться в будущих викторинах и тестах.И снова, если инструктор говорит что-то, чего вы не понимаете, поднимите руку и попросите разъяснений. Мы также рекомендуем составить в своих заметках список тех концепций, с которыми вы боретесь, чтобы вы могли вернуться позже и получить дополнительную помощь.

Сразу после урока просмотрите свои записи. Найдите минутку, чтобы убедиться, что вы поняли все, что написали, пока лекция еще свежа в вашей памяти.

Домашнее задание — ключ к обучению.

Математика — это тот предмет, который обычно требует домашнего задания.Домашнее задание по математике не предназначено для того, чтобы сделать жизнь невыносимой. Это просто необходимо, если вы хотите развить хорошие навыки рассуждения и решения проблем.

Большинство людей не понимают математику сразу после лекции преподавателя. Чтобы выучить математику, вы должны ее испытать. Вы должны решать математические задачи и применять полученные знания. Домашнее задание дает студентам возможность действительно узнать, как математика работает в теории и на практике.

Домашнее задание наиболее эффективно, когда оно выполнено, пока лекция еще свежа в памяти.Хотя нет ничего плохого в том, чтобы отложить домашнее задание до позднего вечера, иногда наиболее эффективны задания по математике между уроками, во время обеда или сразу после школы, пока идеи еще свежи в вашей голове.

Одна из самых больших проблем, с которыми сталкиваются студенты при выполнении домашнего задания по математике, заключается в том, что они не читают заметки и / или текст, связанный с заданием или отдельными проблемами. Многие студенты быстро попытаются решить математическую задачу, а затем сдаются, когда не видят, как это сделать.Чтение всех инструкций и заметок перед каждым домашним заданием необходимо для полного математического анализа домашних заданий.

Когда дело доходит до домашнего задания по математике, ответ — не всегда то, что учителя больше всего интересуют. Большинство преподавателей математики больше заинтересованы в том, как вы придете к своему ответу, чем в самом ответе. Выполняя домашнее задание по математике, всегда показывайте свою работу. Представьте шаги, которые вы предприняли, чтобы прийти к своему ответу, в организованной и логичной форме. Многие преподаватели математики будут давать частичные оценки за ответы, если вы демонстрируете свою работу.Кроме того, некоторые преподаватели математики не дадут должного письменного ответа, если работа не включена.

Как научиться решать проблемы.

Ниже приведены советы о том, как решать математические задачи.

• Прочтите проблему. Внимательно прочтите проблему и убедитесь, что вы понимаете, о чем спрашивают.
• Перечитайте проблему. А теперь прочтите задачу еще раз и запишите, что вам дают и что вас просят найти.
• В чем проблема? Напишите своими словами, какой именно вопрос просит вас решить или найти.
• Запишите, что вы знаете. Теперь вернитесь к проблеме и запишите информацию, факты и цифры в организованном формате.
• Нарисуйте схему. Если возможно, разработайте диаграмму, которая более полно представляет проблему. Рисование хорошо продуманной схемы часто предлагает решение.
• Составьте план. Укажите формулы, которые могут помочь вам решить проблему. Выясните, что вам понадобится для решения проблемы. Часто есть промежуточные шаги / ответы, которые вам нужно выполнить, прежде чем прийти к окончательному ответу.
• Найдите пример проблемы. Если вам сложно понять проблему, попробуйте найти аналогичную проблему, которую вы понимаете или которая уже была решена.Решите более простую задачу, а затем вернитесь к более сложной, но похожей проблеме.
• Осуществите свой план. Когда вы хорошо поймете, о чем вас просят и что необходимо выполнить, работайте над своим планом. Обязательно покажите свою работу, шаг за шагом, чтобы ваш инструктор мог видеть ваши рассуждения и логику — и чтобы вы могли вернуться и проверить свою работу.
• Проверьте свой ответ. Иногда ваш первый ответ неправильный.Имеет ли смысл придуманный вами ответ? Если вы можете вернуть свой ответ к исходной задаче, сделайте это. Это позволит вам узнать, правильный ли ваш ответ.
• Проверьте проблему. После того, как вы определитесь с ответом, вернитесь и просмотрите проблему в последний раз, обращая внимание на концепции, формулы и принципы, которые требовались для вашего решения. Это поможет вам усвоить то, что вы узнали, и подготовить к решению более сложных математических задач.

Обратитесь за помощью.

Обратитесь за помощью, если она вам нужна. При необходимости используйте своего учителя, других учеников или репетитора. Изучать математику будет намного проще, если вы воспользуетесь знаниями и опытом других.

Не ждите до последней минуты, чтобы получить помощь. Математика носит накопительный характер. Так что, если вы пропустите концепцию, вы, скорее всего, очень быстро отстанете.

Не бойтесь задавать вопросы в классе. Если вы не понимаете концепцию, скорее всего, есть много других учеников, которые ее не понимают.Не беспокойтесь о том, что подумают другие или как вы можете выглядеть. Если вы чего-то не понимаете, поднимите руку, задайте вопрос и получите разъяснения. Если во время занятия недостаточно времени для получения необходимых вам разъяснений, посетите инструктора в рабочее время или после занятий.

Посещение учебных групп — очень хорошая идея для изучения математики. В учебной группе из 4 или более человек есть шанс, что хотя бы один человек будет хорошо разбираться в математической концепции и сможет объяснить ее остальной части группы.Возможность объяснять сложные математические концепции другим также помогает укрепить ваше собственное понимание концепции. В целом учебные группы могут быть очень полезны для изучения математики.

Читайте также:
— Стратегии решения математических задач со словами

Учебных советов, стратегий и уроков

Руководства по развитию навыков

Пытаетесь быть успешным учеником? Не расстраивайтесь, это не волшебство! Но для этого требуется желание, целеустремленность и много работы.Если вы хотите узнать, как стать успешным учеником, то вы попали в нужное место. Наши руководства по учебным навыкам для студентов предоставят вам все необходимое, чтобы научиться учиться более эффективно.

Активное слушание, понимание прочитанного, ведение заметок, управление стрессом, тайм-менеджмент, сдача тестов и запоминание — вот лишь некоторые из тем, рассматриваемых в наших руководствах по учебным навыкам для студентов. Если вы потратите время, чтобы изучить и применить концепции и принципы учебных навыков, изложенные в наших руководствах, вы не только улучшите свою успеваемость в школе, но и свою способность учиться в целом — и это принесет вам пользу в остальной части вашего обучения. жизнь! Если вы новичок в колледже, который хочет продвинуться вперед, учитель, ищущий ресурсы для обучения своих учеников, или ученик старшей школы, просто пытающийся выжить, вы найдете руководства, учебные пособия и ресурсы, которые вам нужны, прямо ниже .

Чтобы начать, выберите ссылку категории ниже.

Или прокрутите вниз, чтобы просмотреть все наши ресурсы по обучению и учебные пособия.

Руководства по общеобразовательным навыкам

Ниже приведены общие руководства по учебным навыкам, учебные пособия и статьи для студентов, родителей и учителей, которые предлагают проверенные советы и стратегии для улучшения навыков обучения, повышения эффективности и способности к обучению. Охватываемые темы, среди прочего, включают управление временем, стиль обучения, ведение заметок, чтение, математику, словарный запас, письмо и аудирование.

Руководства по сдаче экзаменов

Сдача экзаменов — это навык сам по себе. Даже некоторые из самых способных учеников испытывают трудности при сдаче экзаменов. Обучение сдаче тестов является важным аспектом успеваемости, развития и прогресса. Ниже мы рассмотрим как общие, так и конкретные советы и стратегии по сдаче и повышению успеваемости на различных типах тестов, включая короткие ответы, множественный выбор, эссе, устные, открытые и стандартизированные.

Ресурсы по изучению навыков по предметам

Понимание общих, но проверенных стратегий обучения и сдачи тестов — первый шаг к тому, чтобы стать эффективным учеником и учеником. Однако каждый изучаемый предмет уникален и требует немного другого подхода к обучению. Например, обучение математическим вычислениям сильно отличается от изучения американского наследия. Хотя оба предмета требуют хороших навыков учебы, эффективного слушания и понимания прочитанного, каждый требует своего подхода к обучению.Ниже мы рассмотрим конкретные навыки и стратегии обучения, связанные с успеваемостью в отдельных предметных областях.

4 способа развития творческих способностей учащихся

Творчество — это самый трудный для приобретения навык мышления, а также самый востребованный. Мы ценим это в нашей музыке, развлечениях, технологиях и других аспектах нашего существования. Мы ценим и жаждем этого, потому что это обогащает наше понимание и может облегчить жизнь.

Творчество всегда начинается с воображения, и история показывает, что многие вещи, которые мы представляем, позже действительно создаются.Джин Родденберри придумал коммуникаторы-раскладушки Star Trek в 1966 году, а Motorola произвела их в 1996 году. В середине 1800-х годов Августа Ада Кинг изобрела язык для вычислительных машин, которого даже не существовало; сегодня она почитается как основательница современных языков программирования.

Когда Бенджамин Блум определил то, что он назвал таксономией когнитивной области, он назвал синтез (творчество) одним из самых сложных навыков для овладения, поскольку человек должен использовать все остальные когнитивные навыки в творческом процессе.Поскольку, по словам Блума, создание — это высший способ мышления, оно должно быть в центре внимания всех учебных сред и конечной целью. Когда учащиеся создают то, что они представляют, они оказываются за рулем.

Творчество в классе

При разработке учебного процесса учителя могут планировать и формировать учебный план и предоставлять инструменты, которые дают учащимся возможности, голос и выбор, чтобы дать им возможность проявить творческий подход. Работая в школах, я обнаружил четыре вещи, которые делают успешные учителя для развития творческих способностей у своих учеников.

1. Организуйте учебные мероприятия, которые позволят учащимся раскрыть свой творческий потенциал актуальным, интересным и полезным способом. Пример в классе: ученикам четвертого класса предлагают образец камней. Они должны разработать тесты, чтобы определить, какие породы у них есть, на основе изученных определений. Учащиеся находят собственные способы определения различий в твердости, цвете и форме.

Другой пример классной комнаты: класс детского сада каждую неделю создает новую иллюстрированную книгу, в которой чествуют другого члена класса или взрослого в школе.Каждая книга полна страниц, нарисованных каждым учеником. У них есть полная свобода изображать, что нравится человеку и как они его воспринимают.

2. Цените творчество, цените и награждайте его. Пример в классе: ученики третьего класса изучают многоугольники, и, чтобы проверить, знают ли они концепцию, учитель выводит их на улицу и дает каждому ученику мел для тротуара. Каждому ученику дается задание нарисовать несколько примеров многоугольников на проезжей части.

Как только ученики это сделают, учитель говорит ученикам превратить эти формы во что-то, что им нравится.Ученики хотят показать всем своих геометрических котят, роботов и драконов, а затем имеют возможность объяснить всему классу, почему они им понравились.

3. Обучите студентов другим навыкам, необходимым им для творчества. Пример в классе: второклассники изучают концепцию замораживания. Учитель задает им один вопрос, чтобы они начали: «Замерзает ли только вода?» Затем учащиеся проводят эксперимент, чтобы определить, какие еще объекты замерзают. Предел состоит в том, что они могут использовать только то, что есть в классе на данный момент.

Учащиеся составляют список вещей, которые они оставят снаружи, чтобы посмотреть, не замерзнут ли они: вода, сок, уксус, клей, очиститель для стекол, зубная паста и бумага. Некоторые предложения, которые они решают, уже твердые и не должны выходить наружу: карандаши, ластики и книги (но почему-то бумага остается в тестовом списке). На следующий день они обсуждают свои выводы и ведут увлекательные беседы о том, почему бумага жесткая, а уксус не замерз.

Первоначальное обсуждение учениками того, что может заморозить, способствует развитию таких навыков, как отстаивание своих идей и компромисс.Последующее обсуждение поощряет дедуктивное мышление и активное слушание.

4. Устраните ограничения для творчества и дайте учащимся пространство и рамки, в которых они могут проявлять творчество. Пример классной комнаты: класс шестого класса ставит спектакли о костюмах на Хэллоуин. Чтобы носить костюмы в школе, ученики должны написать пьесу, включающую каждого из их персонажей в сюжет, а затем представить пьесу. Например, они должны придумать, как будут взаимодействовать гигантская банка газировки и супергерой Чудо-женщина.Студентам нравится эта задача.

Мы учимся на практике

Воображение и креативность — это те качества, которые подпитывают будущее. Оба служат для воодушевления студентов и должны быть интегрированы в каждую часть обучения. При планировании и разработке обучения для студентов мы знаем следующее: научить студентов думать важнее, чем научить студентов тому, что думать.

Помощь студентам в развитии управленческих навыков

Управляющая функция — это общий термин в неврологии, описывающий неврологические процессы, включающие умственный контроль и саморегуляцию.Управляющие функции контролируют и регулируют когнитивное и социальное поведение, такое как контроль импульсов, внимание, запоминание информации, планирование и организация времени и материалов, а также надлежащая реакция на социальные ситуации и стрессовые ситуации.

Эксперты полагают, что исполнительная функция регулируется лобной долей мозга — префронтальной корой. Поскольку люди рождаются с не полностью развитым мозгом, дети не рождаются с этими навыками, но у них есть потенциал для их развития.

Некоторые студенты не развивают управленческие функции в той же степени, что и их сверстники. Для этих учащихся с дефицитом дополнительная поддержка в классе может улучшить развитие управляющих функций.

Поддержка преподавателей

Устранение дефицита требует понимания типа недостатка, с которым сталкивается студент. Если ученику не хватает знаний, он или она не знает, что делать или как выполнять задание. Например, если учащимся не хватает способности регулировать свои побуждения к разговору, в то время как другие говорят, поведению активного слушания следует явно обучать, приводя примеры активного слушания.Педагоги также могут составить таблицу с тем, как это выглядит и звучит, когда учащиеся активно слушают.

Учащийся может знать, что делать для выполнения задания, но может не знать, когда и как применить соответствующие навыки. Для учащегося с этим типом дефицита учитель может подтвердить, что у него есть все необходимые материалы для выполнения задания. Учитель может предоставить контрольный список с необходимыми материалами. Для старших учеников учитель может попросить учеников составить список, а затем собрать соответствующие материалы.

Метапознание: Еще одна стратегия устранения дефицита управляющих функций — использование метакогнитивного языка. Например, с младшим учеником может быть полезно сформулировать задачу. «Я вижу, что вам не хватает карандаша. Для выполнения задания вам понадобится карандаш. Где вы могли найти такой в ​​классе? »

Отображение шагов или вопросов, которые учащиеся могут задать себе в классе, также полезно для развития самостоятельности с навыками.Студенты могут повторить указания партнеру, а затем попросить волонтера повторить указания для всего класса. Этот процесс занимает меньше минуты, но дает дополнительное время для слуховой обработки и повторения для всех учащихся, которые могут в этом нуждаться.

Управление временем: Расписания разноски могут быть полезным инструментом в развитии навыков управления временем. Расписание занятий описывает весь день и готовит студентов к дальнейшим действиям. График активности разбивает блок времени на более мелкие части и описывает, как будет использоваться каждый период и в каком порядке будут представлены действия.Эти расписания обычно размещаются в местах, где каждый студент может обращаться к ним в течение дня.

Долгосрочные задания могут быть особенно трудными для студентов с дефицитом управляющих функций. Один из способов решить эту проблему — напрямую научить студентов составлять более крупные проекты и разбивать их на более мелкие и более управляемые части. Используйте календарь, чтобы определить, когда нужно будет выполнить каждое меньшее задание, и поместите меньшие контрольные цели в календарь.

Проверка перед началом нового обучения: Предоставьте учащимся возможность повторить предыдущее обучение. Этот обзор может быть быстрой устной презентацией, или учителя могут объединить учащихся в пары и попросить их поделиться тем, что они помнят из предыдущего дня.

Обзор может также иметь форму интеллект-карты или концептуальной карты, созданной в небольших группах. Концептуальные карты — полезные графические органайзеры для заметок, сравнения / сопоставления и написания. Графические органайзеры могут быть особенно полезны для студентов с дефицитом управляющих функций, потому что систематизировать мысли может быть так же сложно, как организовать время и материалы.

Взаимодействие с учителем: Поведение учителя также влияет на поддержку учащихся, у которых может быть дефицит управляющих функций. Учителя должны часто встречаться с учениками, которые, как известно, имеют недостатки, и при необходимости оказывать отдельную поддержку. Кроме того, заботливое поведение и использование положительного подкрепления для учащихся с ограниченными возможностями могут положительно повлиять на их школьный опыт.

Поддержка окружающей среды

Экологическая поддержка означает создание пространства, в котором дети могут развиваться.Вот несколько простых способов помочь учащимся улучшить исполнительные функции:

• Разместите ежедневное расписание. Четкие и последовательные распорядки и процедуры предлагают студентам структуру.
• Обеспечьте визуальную поддержку, такую ​​как плакаты с инструкциями или процедурами решения проблем, а также расписания и папки с цветовой кодировкой. Выделите в текстах ключевые слова и идеи.
• Сведите к минимуму беспорядок и создайте четко очерченные зоны в классе.

Потенциал роста

Исполнительная функция требует времени, чтобы полностью развиться, и у разных детей она развивается с разной скоростью.Префронтальная кора головного мозга человека постоянно растет и изменяется как у маленьких детей, так и у подростков. Из-за пластичности человеческого мозга и огромной способности к обучению можно улучшить исполнительные функции учащихся с дефицитом с помощью классных стратегий и поддержки.

Как должна измениться школьная математика, чтобы все учащиеся стали математически грамотными? | Помощь детям в изучении математики

Учебные материалы, необходимые для интеграции направлений математической подготовки

Учебники и другие учебные материалы в США должны поддерживать изучение всех пяти направлений математической подготовки.Им следует целенаправленно и последовательно развивать основное содержание математики в рамках классов и между классами. Следует уделять больше времени разработке меньшего количества тем в каждом классе, как это делается во многих странах, где успеваемость по математике высока. ¹⁶ Учебники должны переходить к новым, более сложным темам и должны развивать их углубленно, а не повторять множество тем каждый год.

Учебные материалы должны содержать заметки учителя, которые помогают им понимать математические концепции, мышление учащихся и ошибки учащихся, а также эффективные педагогические средства и методы.Учебные материалы должны включать мероприятия и стратегии, которые помогают учителям помочь всем учащимся овладеть математикой, включая учащихся с низким социально-экономическим статусом, изучающих английский язык, учащихся со специальным образованием и учащихся с особыми интересами или талантами в области математики.

Экзамены, необходимые для достижения цели математических знаний

В последние годы во многих штатах и ​​округах было введено обязательное проведение различных оценок для измерения успеваемости учащихся по математике.Некоторые из этих оценок имеют серьезные последствия для учащихся, учителей и школ, например, определение того, закончит ли учащийся или будет ли школа избегать государственных санкций. В некоторых случаях оценка направлена ​​на то, что учащиеся усвоили, и все учащиеся должны иметь возможность продемонстрировать мастерство. Однако во многих других случаях при оценке ранжируются учащиеся, школы или округа; это означает, что половина оцениваемых обязательно ниже номинала. Такие оценки обычно не предоставляют информации, которая может быть использована для улучшения обучения.

Цель математической подготовки для всех требует в качестве одной из первых задач переосмысления того, что оценивается при оценке. Крупномасштабные сравнения редко увязываются с учебной программой и часто сосредоточены только на одном или двух аспектах

.

Лучшие 4 основных математических навыка, которые должны выучить студенты

Лучшие 4 основных математических навыка, которые должны усвоить студенты

Математика — один из многих предметов, которые мы обязаны изучать, в наши студенческие годы.Неважно, в каком году математика — это то, что мы неохотно бери и учись, потому что это очень важно для нашего выживания. Хотя нет многим людям нравится этот предмет, школьная политика требует, чтобы мы учили все это то, что нам нужно учиться математике. Но прежде чем мы все сможем выйти и преуспеть в математике, нам необходимо овладеть базовыми математическими навыками. Нам нужны эти базовые навыки, так как это вещи, которые имеют ежедневное значение и применение в нашей жизни, такие как знание сложить-вычесть-умножить-разделить узнал, так как мы начали узнавать цифры.Это умение, которое все математические навыки и концепции в значительной степени зависят от нас и ежедневно используются для нас, как возможно в продуктовом магазине и в общественном транспорте. Базовый математические навыки позволяют нам выжить в мире, полном предательства и заблуждений.

Постоянно меняющиеся потребности общества, количественный бум и высокий наличие и спрос на гаджеты, такие как компьютеры и калькуляторы, требуют чтобы люди владели базовыми математическими навыками. Помимо самого простого всех математических навыков, умений сложить-вычесть-умножить-разделить, есть другие области математических навыков должен изучить каждый ученик.Вот топ 4 основных математических навыка, которые должен освоить каждый ученик.

Решение проблем. Вы не узнаете этого с того момента, как начнете учиться математика. Но это базовый навык, которым должен овладеть каждый ученик, поскольку он позволяет им развивать аналитическое мышление. В жизни есть определенные ситуации которые позволяют вам быть аналитическими и имеют решающее значение при принятии решений. Это математический навык, который мы все должны развивать, чтобы отточить и улучшить свои аналитические способности. мозги, чтобы иметь возможность больше анализировать ситуации, прежде чем действовать.

Прикладная математика. Это то, чему должен научиться каждый ученик — применение математики в повседневных ситуациях. Каждый день нам представляются разные математические ситуации и студенты должны быть в состоянии справиться с ними с уверенностью. Это умение также поможет студентам еще больше оценить важность математики, когда они могут связать это со своей повседневной жизнью.

Оценка и приближение. Это тот навык, который вы будете использовать почти ежедневно. Измерения везде и что бы вы ни покупали в какой-то момент вы оцениваете и делаете приближения.Математика учит методы оценки и приближения длины, расстояния, количества, вес и многие другие, которые вы будете использовать в некоторые дни или каждый день. Такой навык позволит вам узнать, когда измерение уже точное или точен для любых целей, которые могут вам понадобиться.

Необходимые вычислительные навыки. Это, безусловно, один из очень важных базовые математические навыки, которые вы должны уметь выучить и понять. Повседневные ситуации требовать от вас знания вычислений целых чисел или дробей, десятичные дроби, и это нужно делать без какого-либо калькулятора.Большую часть времени люди редко берут с собой калькулятор, когда ходят по магазинам вычисления — это навык, который необходимо изучить. Кроме того, попытка запустить через все вещи в сумке, чтобы найти надежный калькулятор, особенно когда вы торопитесь. Основные умственные вычисления необходим для решения повседневных вычислительных задач без каких-либо проблем.

Математика — это то, с чем мы имеем дело каждый день, поэтому она подходит для нам, чтобы узнать основы этого, как бы трудно это ни было.Это что-то которые мы будем использовать каждый день всю оставшуюся жизнь. Математика действительно необходимо для выживания каждого человека.

Веб-сайты для учителей математики

Мы всегда ищем отличные веб-сайты для учителей. Паутина перечисленные ниже сайты настоятельно рекомендуются как минимум дюжиной учителей прежде, чем мы его разместим.

1. BEAM: Будьте математиком
2. BOXERmath.com
3. Концепция и обучение математического места
4. Подсветка
5. K-8 Интерактивные математические упражнения
6. Создание математики: наставник Исследовательские проекты для молодых математиков
7. Материалы Для учителей математики
8. Место для учителей математического форума
9. Математический форум: Teacher2Teacher
10. Журнал математических проектов
11. MathsNet
12. Всплеск лабиринта
13. Мегаматематика
14. Математика Мейклериггса
15. Национальная математическая тропа
16. NCTM — Принципы и стандарты по школьной математике — Электронное издание
17. Плоская математика
18. Улыбка Математика

.