Инструменты и материалы

Для создания простой модели бабочки потребуется:

• фантазия;
• желание создать миниатюру;
• разноцветная бумага любых оттенков, страницы из книг, журналов, упаковочный материал, офисная или металлизированная бумага;
• ножницы или канцелярский нож.

Для сложных конструкций добавьте дополнительно:

• клей;
• проволоку.

Еще подберите твердый предмет, нужный для сглаживания швов. Пусть это будет линейка, ручка либо книга.

Варианты изготовления бабочек из бумаги

Изящное насекомое создается разными способами. Известно минимум 5 техник, как сделать бабочку оригами. Это могут быть такие вариации, как:

• простая фигурка оригами для начинающих;
• классическая методика складывания;
• объемные бабочки;
• модульные;
• закладки.

Начинать рекомендуется с простых моделей, постепенно развивая навык складывания. Даже дети 3-4 лет способны создать бабочку, если им показать технику в 2 складки.

Простые фигуры из бумаги для новичков

Простые заготовки часто используются для того, чтобы на базе их создавать более сложные структуры оригами. Но маленькому ребенку или новичку можно начинать обучение как раз с таких моделей.

Вам понадобится лист цветной бумаги. Если нет под рукой ничего подобного, то возьмите белый лист и разукрасьте его фломастерами, яркими карандашами либо красками.

Лист должен иметь квадратную форму, то есть все стороны заготовки должны быть равны. Сложите лист пополам по диагонали.

Сгиб тщательно зафиксируйте при помощи линейки или просто пальцами. Получился треугольник, поверните его так, чтобы сгиб был ближе к вам.

Соедините левый край с правым. На 1,5 см от линии складки сделайте еще один сгиб, который будет располагаться параллельно сгибу. Проделайте эту манипуляцию и с другой стороны.

Так получится простая оригами бабочка своими руками, украсьте ее дополнительно аппликацией: полосками или кружками из бумаги другого цвета.

Классические модели

Классическая оригами бабочки делается сложнее, чем первый вариант. Возьмем все тот же квадрат бумаги, сторона которого равняется 15-20 см. Согните лист по диагоналям, затем пополам, чтобы получился прямоугольник. Его сложите тоже пополам в квадрат.

Раскройте лист, у вас появились направляющие линии, чтобы сделать крылья для бабочки. Линии сгиба, которые разделили квадрат пополам, должны отправиться внутрь. Постарайтесь сделать треугольник. Его вершина смотрит вверх, а вы в это время сгибаете нижние кончики к верху. У вас получился квадрат.

Переверните фигуру вершиной вниз и обратной стороной к вам. Нижний угол поднимите вверх, и пусть кончик немного зацепится за край. Теперь осталось соединить левое крыло с правым, чтобы образовался четкий сгиб. Ваша простая бабочка оригами в классической модели сделана.

Объемные фигуры оригами

Изобретательность людей довела до того, что можно сделать объемную бабочку, которую удобно использовать в качестве галстука или украшения для картины. Действуйте, согласно инструкции, и вы быстро справитесь с поставленной задачей.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!

На этот раз будем сгибать 2 прямоугольника. Подберите 2 контрастирующих между собой по оттенку листа цветной бумаги. Например, желтый и голубой цвет. Они могут быть одинакового размера или один из них пусть будет меньше.

Далее делаем так:

• Желтый прямоугольник складываем пополам, слева – направо.
• Обрежем ножницами острые углы с правой стороны сверху и снизу. Это заготовка для крыльев бабочки.
• Развернем бумагу.
• Начнем сворачивать гармошку. Достаточно делать складки от 5 мм до 1 см.
• Повторим процедуру с бумагой голубого цвета.
• Соединяем 2 части друг с другом при помощи степлера, проволоки, клея, любого сцепляющего средства.

Винтажная бабочка оригами

Хотите сделать эксклюзивную винтажную фигурку? Тогда вам потребуется пошаговая инструкция изготовления бабочки оригами. Для производства вам потребуется специальная бумага. Сейчас пригодится газетный лист или страница из старой книги.

Делаем из книжной страницы квадрат, как это было показано в схеме для изготовления классической бабочки. Складываем все точно также.

Полученную бабочку затонируем при помощи краски темного цвета. Края крыльев мотылька станут после обработки краской выразительнее.

Из тонкой проволоки соорудим усики, прикрепим их к основанию, где должно быть туловище бабочки. Изделие готово.

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!

Модульные бабочки из бумаги

Модульные фигурки – это уже не просто бабочка оригами для начинающих, а произведение искусства. Такую работу можно показывать на выставках, приносить в школы, детские сады в качестве семейной поделки. Быстро сделать подобное изделие не получится, но если проявить усердие и терпение, то все выйдет налегке.

Освойте, как делаются и соединяются базовые модули, а затем будете делать не только бабочек, но и лебедей. Используйте разные цвета бумаги для модулей, добавляйте бисер, стразы, украшайте бабочку по своему желанию.

Закладки и открытки в виде бабочки

Не забывайте, что простое бумажное изделие может стать частью цельной картины. Если приклеить небольшую бабочку оригами к тонкой полоске из картона, то получится отличная закладка для книги.

Возьмите лист размера А4, сложите его пополам, приклейте сбоку несколько маленьких бабочек и получится открытка для любимого человека.

Напишите несколько приятных слов и подарите ее маме, бабушке, близкой подруге. Украшать бабочками можно все, что попадется на глаза: и презент, и стену в комнате, и гардины. Пусть фантазия ничем не ограничивается.

Фото оригами бабочек

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!

Также рекомендуем просмотреть:

Просмотров: 14 354

инструкция, как сложить оригами своими руками (120 фото)

Бабочка является символом красоты, легкости, лета. Первые бабочки из бумаги использовались во время свадебной церемонии в древней Японии. Сейчас бумажных бабочек делают в качестве поделок в детский сад и школу, из них делают декор для стен, мобили для младенцев. Мы предлагаем вам несколько разных способов создания бабочек в технике оригами.

Простая бабочка

Самая простоя бабочка выполняется из квадратного листа бумаги. Чем больше исходный квадрат, тем больше получится бабочка.

Бабочка оригами с описанием для начинающих:

• Квадрат сложите пополам два раза;
• Согните квадрат два раза по диагонали, нам нужны четыре загиба;
• Загните два боковых загиба внутрь, у вас должен получиться двойной треугольник;
• Положите треугольник широкой стороной к себе;
• Нижние уголки отогните наверх, чтобы получить ромб;
• Переверните заготовку другой стороной, положите треугольник узкой стороной к себе;
• Загните угол-вершину вверх так, чтобы верхний угол был выше широкой части заготовки, если нужно, немного потяните бумагу;
• Угол, который выступает, загните назад, присоединяя его к широкой части;
• Угол, который вы только что загнули, согните пополам, придавая бабочке объем.

Бабочка-гармошка

Для того чтобы сделать бабочку в складочку понадобятся одинаковые квадраты из двусторонней цветной бумаги, нитка и проволока (лучше взять цветную из магазина для рукоделия). Для каждой бабочки нужны два квадрата.

Подробная инструкция как сделать бабочку:

• Сложите каждый из квадратов гармошкой, начинать следует от угла;
• Две гармошки сложите вместе;
• Перевяжите их ниткой или декоративной проволокой;
• Расправьте складки-крылышки

Бабочка из бумаги-гофре

Бабочки из гофрированной бумаги получаются очень легкие, буквально невесомые. Они подходят для украшения комнаты. Если прикрепить таких бабочек к шпажкам или коктейльным трубочкам, они украсят праздничный стол.

Чтобы сделать гофрированную бабочку, нужно вырезать сложную фигуру. Это должен быть квадрат, к одному из углов которого прилегает круг.

Фигуру нужно сложить пополам так, чтобы сгиб пролегал посередине круга и ромба. Потом каждую половину собирают в складки, как при создании бабочки-гармошки. Середину крепят клеем-пистолетом или ниткой.

Бабочка из картона

Из плотной бумаги для упаковки товаров (крафтовой бумаги) или картона можно сложить более прочную бабочку.

Базой для оригами служит сдвоенный треугольник, как в первой схеме. Далее нужно сделать следующее:

• Согните углы треугольника на одной из сторон, формируя ромб;
• Переверните заготовку;
• Согните вершину треугольника пополам, к середине основания;
• Полученный маленький треугольник состоит из двух слоев, отогните верхний слой вниз;
• Боковые части этой детали подогните к центру, чтобы вместо треугольника получился шестиугольник;
• Верхний угол фигуры загните наружу;
• Поделку сложите пополам вдоль, а потом поперек.

3D бабочка

Объемных бабочек используют для декорирования стен или создания гирлянд. По сути это даже не совсем оригами, а аппликация.

Обратите внимание!

Чтобы сделать такую бабочку, нужно вырезать две или три пары одинаковых по форме, но различных по размеру крылышек. Далее их нужно приклеить друг к другу центральной частью, внизу будут самые большие, а потом меньшие.

Красиво выглядят такие поделки, вырезанные из двойной цветной бумаги средней или высокой плотности.

Money Eds Butterfly — Make-Origami.com

Money Eds Butterfly действительно следует называть «Бабочка Эда». Добавление слова «деньги» помогает в его описании. Возможно, более совершенным названием было бы «Деньги Эда Оригами Баттерли». Модель была создана Эдом Галлеем. Вы также можете увидеть его оригинальные текстовые инструкции здесь, или вы можете увидеть здесь традиционные схемы оригами.

Инструкция для денег Eds Butterfly

Как сделать любовные записки оригами в форме сердечка

Узнайте, как сделать любовные записки оригами в форме сердечка, чтобы добиться от возлюбленного! Эти любовные записки настолько романтичны, что вы можете персонализировать их по своему вкусу.

Мы имели деньги оригами сердце инструкции на веб-сайте уже несколько лет, и многие люди использовали их, чтобы складывать романтические денежные подарки для своих друзей и семьи. Инструкции также можно адаптировать для складывания сладких записок из простой или декоративной бумаги.

Эми из Есть напиток шикарный использовала наши инструкции по денежному оригами, чтобы сделать кучу великолепных маленьких любовных записок для приглашений на помолвку, а также создала свой собственный шаблон для печати для своих читателей.

После нескольких писем с просьбой сделать что-то подобное, мы придумали полностью редактируемый шаблон любовной записки оригами в форме сердца, который вы можете скачать, отредактировать и распечатать дома. Мы выбрали классический романтический дизайн, но вы можете редактировать текст и удалять украшения в соответствии с вашим стилем.

Мы также включили шаблон конверта для печати, который вы также можете редактировать и распечатывать, чтобы вы могли идеально упаковать свою маленькую любовную записку для своего любимого сердца!

Вы можете редактировать цитату на внешней стороне сердца и написать собственное скрытое сообщение внутри.

Посмотрите нашу коллекцию Поговорки валентинки а также милые цитаты парня если вы хотите вдохновение для сообщений, которые можно написать в любовной записке.

Материалы для Оригами Сердце

Как сделать сердечки оригами: какие материалы мне понадобятся?

Чтобы сделать сердце оригами, вам понадобится лист бумаги в два раза длиннее его ширины, т.е.грамм. 10 х 5 дюймов.

Бесплатный шаблон

Чтобы упростить вам задачу, я сделал шаблон, который вы можете скачать. Просто нажмите на ссылку ниже. Шаблон предварительно заполнен цитатой, которая будет отображаться на внешней стороне сердца, и некоторыми украшениями.

Сотни сердец было бы слишком мало
Нести всю мою любовь к тебе
~ Анон

Внутри сердца остается пустым, чтобы вы могли написать собственное сообщение.Также есть бесплатный шаблон конверта, который идеально подходит для сердца.

Скачать шаблон оригами сердечко любовная записка

Персонализированный комплект для заметок и конвертов

Если вы хотите набирать свои собственные сообщения снаружи и внутри сердца, то наш персонализированный шаблон для вас.

«Мы использовали ваш шаблон, чтобы ответить на наши приглашения на свадьбу — они выглядят великолепно!» ~ V, UK
( читайте больше об истории Ви здесь )

Сделайте любовную записку для своей возлюбленной на День святого Валентина или годовщину или даже используйте ее, чтобы сделать уникальные приглашения на помолвку или свадьбу.

Персонализированная записка и конверт: 9,70 долларов США
Мгновенная загрузка

• Редактировать сообщение как внутри, так и за пределами сердца
• Изменить размер, цвет и шрифт текста
• Измените цвет «завитков» , или удалите их
• Поставляется также с персонализированным конвертом

Легко использовать — просто введите свое сообщение в сердце, и оно автоматически выстроится в нужном месте, когда вы его сложите.

Видеоинструкции оригами сердце

Если видео загружаются медленно, вы можете вместо этого следуйте моим пошаговым фотографиям ниже

Как сложить сердечко

Вот небольшой видеоролик, сделанный Тобиасом, в котором показано, как делать любовные сердечки оригами:

Исправление проблем

Вот что делать, если углы не совпадают должным образом в первом сгибе.

Инструкции по складыванию сердечка оригами — Фото

Как сделать любовные записки оригами сердечки, шаг за шагом …

Если вы сложили наши декоративные деньги оригами сердце до этого вы обнаружите, что это почти то же самое Есть лишь некоторые небольшие изменения, потому что мы будем использовать прямоугольник другой формы.

Шаг 1

Распечатать шаблон .Используйте нож и линейку, чтобы вырезать отмеченный прямоугольник.

Наконечник: Если вы используете бесплатную версию шаблона, вы не увидите текста в середине прямоугольника. Вместо этого вы увидите ромбовидный контур, показывающий, где вы можете написать свое сообщение. Это послание будет внутри сердца. Легче всего написать свое сообщение сейчас, прежде чем сложить сердце.

Если вы хотите написать сообщение для души или персонализировать сообщение за пределами своего сердца, вы можете сделать это с помощью персонализированная версия шаблона

Поместите прямоугольник пустой стороной вверх.Загните два нижних угла к верхнему краю.

Шаг 2

Вы увидите две части текста, расположенные следующим образом. (Если вы не видите текста, поверните лист на 180 ° и попробуйте еще раз.) Это ваш шанс добиться идеального выравнивания текста, поэтому не торопитесь, регулируя складки, пока вы не будете довольны тем, как текст выровнен .

Точное выполнение этого сгиба — самый важный шаг в создании любовных записок оригами в виде сердечек, чтобы записка выглядела хорошо, когда она закончена.

Шаг 3

Разложите складки, указанные на шагах 1 и 2. Затем загните два верхних угла, чтобы они встретились с нижним краем.

Шаг 4

Разверните сгибы с шага 3. Переверните бумагу стороной с текстом вверх. Затем сложите с каждой стороны к центру. Вы сможете сказать, где находится точный центр, по складкам, оставшимся от предыдущих складок.

Шаг 5

Разложите складки из шага 4.Поместите бумагу чистой стороной вверх в «портретном» положении. Потяните внутрь за левый и правый края примерно на 1/4 от верха.

Сверните верхнюю часть в треугольник.

Поверните бумагу на 180 ° и повторите с другой стороны.

Шаг 6 — как сделать сердечки оригами

Поверните бумагу на 90 °, чтобы она находилась в этой ориентации (см. Ниже).Поднимая только свободный верхний слой, сложите по отмеченным ниже линиям.

Суньте палец в верхний левый треугольный клапан и откройте его.

Сдавите заслонку в небольшой квадрат. Повторите то же самое с тремя другими створками.

Шаг 7

Теперь у вас есть четыре плоских квадрата. Сложите стороны каждого квадрата к центру, чтобы каждый квадрат принял форму воздушного змея.

Вот крупный план сгиба:

Шаг 8 — как сделать сердечки оригами

Используйте кончик ручки или другой заостренный предмет, чтобы открыть одну из створок сбоку одного из маленьких «воздушных змеев».

Затем раздавите его

Повторите то же самое для всех остальных лоскутов. Ваш документ будет выглядеть так.Ты хорошо справляешься 🙂

Шаг 9

Переверните бумагу и загните верхний угол вниз, чтобы он совпадал с нижним. Затем вы должны увидеть сообщение снаружи сердца (правая панель ниже).

Если вы не видите текста, это потому, что ваше сердце перевернуто, поэтому вместо этого согните нижний угол вверх, чтобы он встретился с верхним.

Шаг 10 — как сделать сердечки оригами

Переверните сердце звездообразным рисунком вверх.Сложите левый и правый углы, чтобы «закруглить» форму сердца.

Ваше сердце готово! Остальные шаги необязательны.

Все, что происходит на оставшихся шагах, — это то, что мы убираем лоскуты на левой и правой сторонах сердца. Это немного облегчает открытие сердца и возможность увидеть послание внутри, но это строго необязательно, и ваше сердце и так прекрасно.

Шаг 11

Расправьте складки из шага 10, переверните сердце и снова сложите левый и правый края с этой стороны по тем же линиям сгиба.

Шаг 12

Расправьте складки с шага 11. Возьмитесь за нижний угол и приподнимите его, приподняв только верхний слой.

Шаг 13 — как сделать сердечки оригами

Ваше сердце будет выглядеть, как на левой панели ниже.Переверните его, чтобы он выглядел, как правая панель внизу.

Возьмитесь за верхний слой нижней половины и откройте его вот так

Разверните руки от себя так, чтобы острый кусочек бумаги указывал на вас.

Надавите на точку большими пальцами (или любыми свободными пальцами :-). Вы хотите, чтобы точка превратилась в плоский квадрат. Затем вдавите его еще немного, чтобы получилось неглубокое отверстие.Это может быть немного неудобно, поэтому не торопитесь.

Поместите пальцы на каждую сторону квадрата, затем нажмите на все стороны.

Квадрат вот так рухнет. Нажмите сверху и снизу, чтобы раздавить его.

Продолжайте раздавливать, пока он не станет плоским.

Уф! Отлично сработано! Вы только что сделали сложную складку оригами, которая называется «складка под раковину». Это, наверное, был самый сложный способ сделать сердечки оригами.

Шаг 14.

Вы только что сделали складку раковины в углу на одной стороне сердца. Теперь все, что осталось сделать, это другая сторона. Итак, повторите шаг 13 для другого угла.

Шаг 15.

Переверните бумагу и сложите пополам

Законченный!

Вот и готовое сердце!

Надеюсь, вам понравился этот урок 🙂 Если у вас есть вопросы или вы просто хотите поздороваться, пожалуйста прокомментируйте, как сделать сердечки оригами .

Как изменить цвет украшений

Если вы приобрели набор для персонализированных заметок и конвертов, вы можете изменить цвет «завитков» на любой, какой захотите. Сначала откройте шаблон в Adobe Reader и выделите украшение, цвет которого вы хотите изменить.

Нажмите Ctrl + e на клавиатуре (или Cmd + e, если вы используете Mac). Это вызовет всплывающее окно свойств текста.

Нажмите кнопку в виде буквы «Т» с небольшим квадратом рядом с ней. Это вызывает выбор цветов, из которых вы можете выбирать. Вы также можете выбрать «другой цвет», чтобы увидеть больше вариантов цвета.

Вы также можете использовать тот же метод, чтобы изменить цвет любого текста.

История счастливого покупателя 🙂

«Я использую их для нашей свадьбы, и они идеальны!»

«Я собирался использовать их для приглашения на свадьбу, но подумал, что они слишком маленькие.»

Затем мне пришла в голову идея использовать их для наших ответов, и они идеальны. Они выглядят очень мило! У нас на свадьбе японская еда, поэтому я искал что-нибудь связанное с оригами, чтобы сохранить эту тему. Я заработал 50, а осталось чуть меньше 100. Мне нравится выстраивать их все на столе, чтобы посмотреть, сколько я уже сделал. Я использую кремовую пергаментную бумагу, и она выглядит очень старомодно, очень мило, а крошечные складки на тыльной стороне сердца такие красивые!

«Я не думаю, что кто-то поверит, что я их создал.»

На первую у меня ушло около получаса, но теперь я могу сделать их за три минуты. Похоже, они сделаны профессионально. Сделав несколько первых, я могу сделать их очень аккуратно, как будто я что-то вроде машины для оригами! Я обнаружил, что самым сложным в изготовлении сердечек оригами была складка из тыквы. Когда я впервые это сделал, он сводил меня с ума! Но теперь я могу это сделать за секунды.

«Самое лучшее в шаблоне было то, насколько легко его можно было редактировать для персонализации.»

«Еще одна вещь, которая мне нравится в сердцах, — это то, как они трехмерны»

Я считаю, что самые эффективные оригами — это 3D, но мне нужно было уметь их публиковать.Что так приятно в сердце, так это то, что оно плоское, но также и трехмерное, потому что его можно открыть. Это действительно впечатляюще и красиво. Я искал другие варианты, такие как кувшинка в стиле 3D оригами, но было бы нелепо, очень дорого (около 10 долларов каждый!), Чтобы сделать их и отправить в отдельные коробки. Так что я искал другие вещи, которые были бы столь же впечатляющими и милыми, но поместились бы в конверт, и поэтому я думаю, что сердце было идеальным выбором.

Я подумываю взять ответы, которые люди отправляют обратно, и сделать из них что-то вроде демонстрации на свадьбе.

У меня такое чувство, что как только все увидят, что они красиво висят на свадьбе, они спросят меня, откуда я взяла эту идею … Я могу стать серьезным законодателем моды!

~ Ви (желающая остаться анонимной, пока не закончится день свадьбы!)

Нажмите здесь, чтобы загрузить образец персонализированного набора оригами в виде сердечек

Вам тоже может понравиться…

Если вам понравилось учиться делать любовные записки оригами в форме сердечка, вам также могут понравиться:

Сила оригами | plus.maths.org

декабрь 2009 г.

Скелет аллозавра , сделанный Робертом Дж. Лангом из 16 неразрезанных квадратов бумаги Wyndstone ‘Marble’. Размер: 24 дюйма. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

Когда мне было девять лет, я был мастером оригами. У меня был друг по имени Ким, который на год приехал в Англию из Японии.Пока я показывал Ким некоторые забавные вещи, которые можно сделать в Англии, она научила меня всем классным японским вещам, от рисования мультфильмов из манги до приготовления суши. Конечно, еще одной вещью, которой она меня научила, было оригами — и однажды днем ​​она научила меня делать бумажного журавлика. От этого На мгновение я стал величайшим мастером оригами в мире. По крайней мере, я так думал. Прошло еще пятнадцать лет, прежде чем я осознал, что не являюсь мастером оригами и даже близко не был к нему.

Удивительно, но я был не единственным, кто совершил эту ошибку.Несомненно, на протяжении всей истории было много художников, которые искренне верили, что создали самые лучшие и самые сложные модели оригами. Фактически, только в 20-м веке, с появлением компьютеров, оригами действительно стало популярным.

Краткая история оригами

Хотя оригами в настоящее время является синонимом Японии, первое зарегистрированное упоминание о нем происходит из Китая, где бумага была впервые произведена около 200 г. н.э. как дешевая альтернатива шелку. Искусство складывания бумаги в Китае было известно как Zhezhi и было принесено вместе с бумагой в Японию в VI веке китайскими буддийскими монахами.

Pegasus , сделанный Робертом Дж. Лангом из неразрезанного квадрата корейской бумаги ханджи. Размер: 7 дюймов. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

«Оригами» стала популярной в Японии. Само японское слово «оригами» представляет собой соединение двух меньших японских слов: «ори», что означает складка, и «гами», что означает бумага, и искусство было (и остается) популярным развлечением японских детей на протяжении многих веков.

Так оно и могло бы остаться, если бы не японский фабричный рабочий по имени Акира Йошизава, родившийся в 1911 году в семье молочного фермера.Акира получал удовольствие от оригами, когда был ребенком, и, как и большинство детей, он постепенно останавливался, когда становился старше, и находил новые вещи, чтобы занять свое время. Однако, в отличие от большинства детей, он возродил его отношения с оригами, когда ему было чуть за 20. Он устроился на работу на фабрику, обучая младших сотрудников геометрии, и он понял, что оригами будет простым и эффективным способом обучения его учеников углам, линиям и формам.

По мере того, как Ёсизава практиковался все больше и больше, он разработал некоторые новаторские методы, такие как «влажное складывание», которое позволило сформировать гораздо более сложные узоры и даже кривые на одном листе бумаги.Его работа положила начало возрождению оригами, с его новыми техниками, которые превратили оригами из странности в вид искусства. По мере того, как создавались все более и более сложные узоры оригами, искусство начало вызывают интерес у математиков, у которых была та же идея, что и у Йошизавы — было огромное пересечение между складыванием бумаги и геометрией. Математическое изучение оригами в конечном итоге привело к новому подходу к двум проблемам, которые уходят своими корнями в другую культуру, на другой континент, много-много лет назад.

Элементы Евклида

Евклид Александрийский был греческим математиком, жившим более 2000 лет назад, и его часто называют отцом геометрии. Книга Евклида Элементы — самый успешный учебник по истории математики и самое раннее известное систематическое обсуждение геометрии.

Евклид знал, что с помощью линейки и циркуля (линейка похожа на линейку без разметки) можно выполнить большое количество геометрических операций, таких как рисование пятиугольника, шестиугольника и круга.В то время это было широко известно, и способность Евклида это ни в коем случае не была необычной.

Однако то, что сделал Евклид, чего не делал никто другой, — это систематический подход к геометрии. Каждая геометрическая конструкция и каждый математический результат в The Elements выводились шаг за шагом на основе набора из пяти предположений, которые включают основные операции, которые возможны с линейкой и компасом:

• Учитывая любые две точки, можно провести прямую линию между ними;
• Любой линейный сегмент можно продлевать бесконечно;
• Дана точка и отрезок прямой, начинающийся в этой точке, можно описать круг с данной точкой в ​​качестве центра и заданным сегментом в качестве радиуса;
• Все прямые углы равны друг другу;
• Для данной линии и точки P , которая не находится на линии, есть одна и только одна линия, проходящая через P , которая никогда не соответствует исходной линии.

Колибри и труба изготовлены из нескольких листов корейской бумаги ханджи, проволоки и дерева. Размер: 15 дюймов. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

Предположения, известные как аксиомы Евклида , кажутся очевидными, и, действительно, сам Евклид считал их настолько очевидными, что самоочевидными. Но их красота заключается в том, что их можно использовать для построения геометрических доказательств теорем, которые намного сложнее самих аксиом.

Но есть и ограничения евклидовой геометрии. Двумя самыми известными проблемами древности были трисекция угла (деление данного угла на три равные части) и удвоение куба (построение куба, который имеет ровно вдвое больший объем, чем данный куб). Согласно легенде, жители древнего Делоса столкнулись с последней проблемой, когда оракул в Дельфах посоветовал им удвоить объем своего жертвенника, чтобы предотвратить чуму. Это, однако, оказалось невозможным с использованием только методов Евклида и циркуля, и то же самое касается трисекции угла.Но оказывается, что с помощью оригами можно решить обе задачи! Таким образом, остается поразительная возможность того, что геометрия оригами более мощная, чем геометрия Евклида.

Гений оригами

Подобно тому, как Евклид изобрел аксиомы для плоской геометрии, современные математики Хумиаки Хузита и Коширо Хатори разработали полный набор аксиом для описания геометрии оригами — аксиом Хузиты – Хатори (щелкните здесь, чтобы пропустить аксиомы и увидеть остальную часть статьи ):

Поперечное сечение угла

Седьмая аксиома является ключом как к делению угла на три части, так и к удвоению куба. Начнем с построения уголка. Выполнив шаги, описанные ниже, можно увидеть, как эти простые аксиомы могут позволить папке выполнять операцию, которая ускользнула от Евклида. (Диаграммы любезно предоставлены Робертом Дж. Лангом.)

Если вы попробуете сами, возможно, вы убедитесь, что методика работает, но для скептиков вот доказательство.(Примечание: этот метод работает для любого угла менее 90 °. Существуют и другие методы, которые работают для больших углов.)

Удвоение куба

Предположим, вам дан куб с длиной стороны и объемом. Ваша задача — найти длину стороны куба, имеющего объем. Вот как это сделать с помощью оригами. (Диаграммы любезно предоставлены Робертом Дж. Лангом.)

Если вы сомневаетесь, вот доказательство того, что этот метод тоже работает.

Это все в третьей степени

Так что же такого в оригами, что дает ему возможность решать эти две классические задачи? Ответ заключается в том, что обе проблемы сводятся к решению кубического уравнения. В случае куба вы ищете такую ​​длину стороны, чтобы

Произвольный угол можно разрезать пополам с помощью тригонометрии: записав и применив тригонометрическую формулу для косинуса суммы двух углов, вы получите

Оказывается, оригами может не только решить два кубических уравнения, связанных с двумя приведенными выше задачами, но и любое кубическое уравнение , то есть любое уравнение вида

Вычислительное оригами

Одним из пионеров современного оригами на основе математики является Роберт Дж. Лэнг, американский математик и художник оригами.

В 1989 году Лэнг написал статью для журнала Engineering & Science , в которой спросил, сможет ли когда-нибудь компьютер создать модель оригами, которая будет считаться более совершенной, чем созданные людьми. Этот вопрос настолько заинтриговал его, что в 1990 году он решил написать компьютерную программу, которая могла бы это сделать.

Слева: шаблон складки, образованный TreeMaker , получившейся основой и готовой моделью.Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

В течение нескольких месяцев Лэнг создал первую версию программы, которую он назвал TreeMaker (названный так потому, что фигуры, которые он использовал в качестве отправных точек, напоминали деревья). Программа смогла преобразовать простой рисунок линии или фигурку в план бумажной основы, из которой можно было сложить модель.

В этом контексте основание представляет собой геометрическую форму, которая содержит клапаны, соответствующие всем придаткам модели оригами.Итак, журавль с двумя крыльями, хвостом и головой образуется из основания с четырьмя створками, а насекомое с шестью ногами, головой и брюшком — из основания с восемью створками.

Rattlesnake сделана из неразрезанного прямоугольника тайской бумаги унрю. Размер: 8 дюймов. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

Сначала TreeMaker был, по словам Лэнга, «немногим больше, чем математическое любопытство». Тем не менее, в течение следующих восьми лет, по мере того, как Ланг стал лучше понимать структуру складок, он добавил в программу алгоритмы.К 1998 году TreeMaker был способен создавать полный узор сгиба для самых разных основ оригами.

Сегодня в Ланге собрана коллекция из тысяч скульптур оригами. Хотя не все из них были разработаны с помощью TreeMaker , без него некоторые из его самых сложных проектов были бы невозможны. Изображения его творений рассредоточены по этой статье.

Техника оригами

Хотя некоторые из рисунков Лэнга и других действительно поразительны, оригами легко отклонить как просто искусство: красиво, но без применения в реальном мире.Поэтому для меня несколько удивительно узнать, что методы оригами используются в самых разных технологиях, от космических телескопов до автомобильных подушек безопасности.

Ирландский лось изготовлен из неразрезанного квадрата корейской бумаги ханджи. Размер: 9 дюймов. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

С тех пор, как космический телескоп Хаббл был запущен на орбиту космическим шаттлом Discovery в 1990 году, космические ученые работали над его возможным преемником. Родерик Хайд из группы дифракционной оптики Ливерморской национальной лаборатории им. Лоуренса в Ливерморе, штат Калифорния, выдвинул идею о том, что никто не обвиняется в отсутствии амбиций. построил телескоп в сорок раз больше, чем Хаббл.Сам телескоп Хаббл — немалое изобретение, его длина составляет 13 метров, а апертура — 2,4 метра. Телескоп, который предлагал Хайд, будет иметь апертуру почти 100 метров и длину в сотни метров. Сразу возникла логистическая проблема: даже если бы такую ​​вещь можно было спроектировать, как она попала бы на орбиту?

Ответ пришел, когда исследователи поняли, что можно создать складную линзу, которую можно было бы упаковать в космический шаттл. Расстояние между двумя концами телескопа можно было просто достичь, поместив две линзы на орбиту на подходящем расстоянии друг от друга, где отсутствие гравитационной силы позволило бы им оставаться.Сразу видя ссылку с бумагой После сворачивания лаборатория связалась с Робертом Дж. Лангом, чтобы узнать его мнение эксперта.

В течение следующего года с помощью Лэнга команда лаборатории построила прототип под названием Eyeglass , диаметр которого составляет пять метров. У фактического преемника Хаббла, космического телескопа Джеймса Уэбба, который будет запущен в 2013 году, есть зеркало, которое складывается в стиле оригами, чтобы его можно было поместить в ракету.

Для применения ближе к дому разработка автомобильных подушек безопасности является еще одним примером использования оригами.Перед тем как подушка безопасности сработает во время аварии, она плотно складывается в отсек рулевого колеса или приборной панели. Инженеры, разрабатывающие подушки безопасности, начинают с моделирования процесса надувания на компьютерах. Для этого им нужен алгоритм, с помощью которого можно «сворачивать» полностью надутая подушка безопасности.

Используя алгоритм из своей компьютерной программы TreeMaker , Ланг смог предоставить инженерам немецкой компании EASi Engineering решение их проблемы складывания.По сути, это должно было представить подушку безопасности в виде серии многоугольников, края которых оставались выровненными во время и после складывания — задача, которую можно было решить с помощью подробного шаблона сгиба, подобного тем, которые Ланг использовал для его модели оригами.

Мастер оригами

Для искусства, такого же старого, как сама бумага, оригами потребовалось поразительно много времени, чтобы раскрыть свой потенциал. Сегодня открываются сотни других приложений, от помощи в создании самосборных роботов до подсказок того, как белки складываются в точные трехмерные формы в человеческом теле.Потребовалось почти две тысячи лет, и на рождение компьютера осознайте, насколько это возможно, и творения Лэнга свидетельствуют о том, как далеко мы продвинулись.

Богомол , сделанный из одного неразрезанного квадрата бумаги. Размер: 4 дюйма. Изображение предоставлено Робертом Дж. Лангом.

Невероятные применения оригами положительно положили конец моим ранним иллюзиям величия и убеждению, что я покорил мир оригами в девять лет с помощью бумажного журавлика.Однако для новичка в оригами радость открытия того, что вы можете сделать такую ​​элегантно простую форму из одного листа бумаги и нескольких складок, может заставить любого подумать, что они мастер оригами. Продолжайте, я настоятельно рекомендую вам попробовать — я гарантирую, что вы зацепитесь.

Об авторе

Лиз имеет степень биологии и в настоящее время учится на магистра наук в области коммуникаций в UWE в Бристоле.